Между 0 и 1

Вероятность случайного события заключена

Вероятность невозможного события равна 0;

Вероятность достоверного события равна 1;

Формула полной вероятности и формула Байеса

ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

ЛЕКЦИЯ 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ

1.1. Понятие случайного события.

Вероятность случайного события.

1.2. Алгебра событий.

1.3. Зависимые и независимые события.

Условные и безусловные вероятности.

1.4. Основные формулы теории вероятностей.

1.6. Частная теорема о повторении опытов.

1.1. Понятие случайного события.

Вероятность случайного события.

Как и во всякой науке, развивающей теорию какого-либо круга явлений, в теории вероятностей содержится ряд основных понятий, на которых она базируется. В качестве первого понятия введем термин «случайное событие».

Под случайным событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Со6ытия будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Например, событие А- извлечение из ящика единственной дефектной детали среди 100 годных деталей. Событие В - появление герба при бросании монеты. Событие, которое в результате опыта обязательно произойдет– достоверное событие. Событие, которое в результате опыта наверняка не произойдет невозможное событие. Случайные события могут быть равновозможным и несовместными. Равновозможные события -события с одинаковыми возможностями. Несовместные события - события взаимоисключающие друг друга. Пример равновозможного события - появление герба или цифры. Несовместные события - появление герба исключает появление цифры и наоборот.Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет одно из них.

Основной теоретической числовой характеристикой случайного события является вероятность его появления. Согласно классическому определению вероятностью случайного события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу равновозможных и несовместных исходов.

(Благоприятными исходами называются такие, при которых событие А обязательно произойдет). Математически данное определение можно записать так:

Р(А)= m/n,

где P(А) - классическая вероятность рассматриваемого события А, m - число исходов, благоприятствующих событию

n- общее число равновозможных и несовместимых исходов.

Из определения легко можно вывести основные свойства вероятности:

Основы классической теории вероятностей были заложены в середине XYII века в переписке между учеными Блезом Паскалем и Пьером Ферма.. Они рассмотрели решение ряда задач, связанных с азартными играми, которые предложил кавалер де Мэре. Вот один из парадоксов, который поставил де Мэре перед Паскалем. Какова вероятность получения в сумме 11 и 12 очков при бросании 3-х игральных костей? Рассуждение де Мэре было примерно следующим: 11 очков можно получить 6-ю различными способами: 641-632-551-542-533-443. 12 очков также можно получить 6-ю способами 651-642-633-552-543-444.Тем не менее, де Мэре заметил, что тот, кто ставил на 11 очков, выигрывал чаще, чем на 12. Паскаль довольно быстро нашел ошибку в рассуждениях де Мэре. Ошибка в том, что исходы, которые рассматривал де Мэре, не являются равновозможными. Например, комбинация 641 может быть получена

6-ю способами, а 444 - одним. Если говорить современным языком, де Мэре неправильно определил поле событий. Нетрудно подсчитать, что при бросании трех игральных костей возможны 216 (666) несовместных равновозможных исходов. Появление события А (11 очков) имеет 27 исходов. Появление события В (12 очков)- 25 исходов. Р(А)=27/216 > P(B) = =25/216.

Пользуясь классическим определением понятия вероятности, можно вычислить вероятность какого-либо случайного события теоретически, не прибегая к опыту. Однако это не всегда выполнимо, ибо на практике не всегда можно соблюдать такое условие, как равновозможность, лежащее в основе классического определения. По этой причине наравне с классическим определением пользуются также статистическим определением вероятности. При изучении массовых явлений какое-либо случайное событие может появиться несколько раз в процессе испытаний. Например, пусть при N испытаниях событие A появилось f раз. Число f носит название частоты появления события.

Отношение частоты f события A к общему числу испытаний N носит название частости события A или относительной частоты, которую будем обозначать через W(A)= f/N. Например, на станке обработано 100 деталей. При измерении деталей оказалось, что 85 из них имеют размеры в пределах допуска, а 15 - вышли за пределы допуска. Следовательно, частость события А, заключающегося в появлении годных деталей при 100 испытаниях, составляет W(A)= 85/100. Частость события B, заключающегося в появлении брака, W(B)= 15/100. Если случайное событие имеет устойчивую частость в серии массовых испытаний, т.е. в каждой серии испытаний частость этого события изменяется незначительно и колеблется вблизи некоторого положительного числа, то это число и принимается за вероятность данного события. Вычисленную таким способом вероятность называют статистической. Примером статистической вероятности в демографии может явиться число 0,514 - это вероятность рождения мальчиков. Или число 0,013 - вероятность того, что 10 летний ребенок доживет до 90 лет. Вернемся к классическому определению вероятности. Это определение позволяет нам заранее вычислить вероятность какого-либо события, не прибегая к опыту. Разберем ряд примеров.

Пример 1. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того, что шар белый.

Решение. Событие А- взять белый шар. Общее число случаев (n)=5, благоприятно(m)=2.Следовательно, Р(А)=2/5

Пример 2. Из партии изготовленных деталей, среди которых 20 годных и 5 бракованных, для контроля наудачу взято 8 штук. При контроле оказалось, что первые 3 оказались годными. Определить вероятность того, что следующая деталь будет годная.

Решение. n= 22 (25-3),m= 17 (20-3). Р(А)= 17/22.

Пример 3. В партии из N деталей M бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу n деталей m- бракованные.

Решение. Число возможных способов взять из N деталей n:

Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числа M бракованных деталей взято m деталей. (Это можно сделать способами), а остальные n-m взяты из N-M деталей (количество способов ). Поэтому число благоприятствующих случаев

1.2. Алгебра событий.

Во многих областях точных наук применяются символические операции над различными объектами, которые получают свои названия по аналогии с арифметическими действиями, рядом свойств которых они обладают. Таковы, например, операции сложения и умножения векторов в механике, операции сложения матриц в алгебре и т.д. Эти операции, подчиненные известным правилам, позволяют не только упростить форму записей, но и в ряде случаев существенно облегчают логическое построение научных выводов. Введение таких символических операций над событиями оказывается плодотворным и в теории вероятностей.

Познакомимся с такими понятиями как сумма событий и произведение событий.

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В или обоих вместе.

С= А+В

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

С=А+В+D+…

Произведением двух событий A и В называется событие С, состоящее в совместном выполнении и события А и события В. С= АВ.

Произведением нескольких событий называется событие,

состоящее в совместном появлении всех этих событий.

В= СDEF…

В алгебре событий рассматривается еще одно понятие - противоположные события. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными. Обозначаются противоположные события- и .

Действия над событиями становятся более наглядными, если придать им геометрическую интерпретацию. Изображать события в виде диаграмм предложил математик Вьенн, именем которого они и названы. Все возможные элементарные исходы представим в виде совокупности точек некоторого квадрата. Обе совокупности А и В изобразим в виде кругов, причем если события несовместные, круги не имеют общих точек, а если события совместные, то круги будут пересекаться.

Геометрически сумму событий А и В будет выражать область, включающая в себя все точки, принадлежащие или кругу А, или кругу В, или одновременно и А, и В. Аналогичным образом интерпретируется и произведение двух событий А и В - это область, включающая в себя точки, принадлежащие одновременно и кругу А, и кругу В.

1.3. Зависимые и независимые события.