Функцию распределения F ( x ) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения

Функция распределения.

В предыдущем разделе мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной. Она существует только для д.с.в. Нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины (н.с.в.) такую характеристику построить нельзя, так как составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения непрерывной случайной величины, невозможно. Следовательно, для н.с.в. не существует ряда распределения в том смысле, в котором он существует для д.с.в. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для н.с.в. существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для д.с.в.

Для количественной оценки этого распределения вероятностей удобно пользоваться не вероятностью события Х = х, а вероятностью события Х < х, где х - некоторая текущая переменная. Вероятность этого события есть некоторая функция от Х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F (x): F (x) = P (X < x).

Функция распределения F (x) - универсальная характеристика случайной величины. Она существует как для н.с.в., так и для д.с.в. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения F (x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х₂> x₁ F (x₂)F (x₁).

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (-) = 0.

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (+)=1.

Функция распределения любой д.с.в. всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках соответствующих возможным значениям с.в. и равны вероятностям этих значений.

F(x) F(x)

1 1

0

x₁ x ₂ x₃ X X

F(x)

1

X

Сумма всех скачков функции F (х) равна единице. По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становиться более плавной; случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения- к непрерывной функции.

2.3. Вероятность попадания случайной величины