Примеры. Множество называется неограниченным если оно неограничено сверху или снизу

Множество называется неограниченным если оно неограничено сверху или снизу.

Множество называется ограниченным, если оно ограничено сверху и ограничено снизу.

Любое число меньшее нижней грани, естественно, также является нижней гранью.

Любое число большее верхней грани, естественно, также является верхней гранью.

При этом L называется верхней, а l нижней гранями множества X.

ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

РАЗДЕЛ 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Пример: Множество вещественных чисел R является множеством мощности континиум.

Def: Множества, равномощные множеству точек, принадлежащих интервалу (0, 1) называются множествами мощности континиум.

Одной из проблем, возникших в теории множеств и долгое время ожидавших своего решения, являлась так называемая проблема ²континиума²: существуют ли множества с мощностью большей мощности счетного множества, но меньшей мощности континиума?

Проблема была решена американским математиком Полем Коэном. Он доказал, что существование или отсутствие таких множеств не вытекает из аксиом теории множеств и может быть принято в качестве еще одной аксиомы теории множеств.

1^○ Множество X называетсяограниченным сверху (снизу)если существует вещественное L (l) число такое, что L больше (l меньше) любого элемета X.

Ограниченное сверху: $ L Î R " x Î X x £ L.

Ограниченное снизу: $ l Î R " x Î X x ³ l.

$ L, l Î R " x Î X l £ x £ L или, что то же самое, $ А Î R " x Î X | x | < А.

2^○ Множество X называетсянеограниченным сверху, если " L Î R $ x Î X x > L. Множество X называетсянеограниченным снизу, если: " l Î R $ x Î X x < l.

3^○ Наименьшая из верхних граней множества, если она существует, называется точной верхней гранью L * множества X и обозначается: L * = sup X

L *: 1. " x Î X x £ L * 2. "e>0 $ x Î X x > L * -e.

Наибольшая из нижних граней множества, если она существует, называется точной нижней гранью l * множества X и обозначается: l * = inf X

l *: 1. " x Î X x > l * 2. "e>0 $ x Î X x < l * -e.

4^○ Если L * Î X, то L * называется максимальным элементом множества X.

L * = sup X = max X.

Аналогично, если l * Î X, то l * называется минимальным элементом множества X.

l * = inf X = min X.

Из этих определений ясно, что максимальный элемент множества X одновременно является и точной верхней гранью множества а минимальный элемент множества X одновременно является и точной нижней гранью множества. Обратное, вообще говоря, неверно.

1^○ X = [ a, b ]. a = inf X = min X, b = sup X = max X.

2^○ X = (a, b). a = inf X, b = sup X. Наибольшего и наименьшего элементов интервала не существует.

Т^○ Еслинепустое числовоемножество ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. ∆ ▲

·
Числовую прямую R можно расширить.

Рисунки иллюстрируют тот факт, что числовая прямая R, расширенная +¥ и -¥ топологически эквивалентна полуокружности с включенными крайними точками дуги или отрезку, а числовая прямая R, расширенная ¥ топологически эквивалентна окружности.

Т^○ Начисловой прямой R, расширенной +¥ и -¥ всякое непустое числовоемножество имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань (может быть несобственную). ∆ ▲