2014-02-24
1580
Def. Точка а называется внутренней точкой множества М, если она входит в множество М вместе с некоторой своей окрестностью: $ U a | U a Ì М.
- множество всех внутренних точек множества М называется внутренностью множества (
).
- множества совпадающие со своей внутренностью называются открытыми, т.е. множество является открытым если все его точки внутренние (пример открытого множества - интервал).
Def. Точка а называется точкой прикосновения множества М, если любая ее окрестность имеет точки общие с множеством М: " U a | U a Ç М ¹Æ.
- совокупность точек прикосновения множества называется замыканием множества. (
).
- множество совпадающее со своим замыканием называются замкнутым (пример замкнутого множества - сегмент).
Def. Точка а называется точкой сгущения множества М (предельной точкой), если любая ее проколотая окрестность имеет с М общие точки: " 
| Ç М ¹Æ.
- множество всех предельных точек множества М называется производным множеством (
).
Def. Точка а называется изолированной точкой множества М, если существует ее окрестность не имеющая с М общих точек, кроме точки а:
|
|
|
$ U a | U a Ç М = { a } 
a Î M $ | Ç М = Æ.
Def. Точка а называется граничной точкой множества М, если любая ее окрестность имеет точки принадлежащие множеству М и точки не принадлежащие множеству М:
" U a | $ x Î U a Ç М 
Ù $ y Î U a | y Ï М.
- совокупность граничных точек множества называется границей множества.
Def. Точка а называется внешней точкой множества М, существует ее окрестность, не имеющая с множеством общих точек: $ U a | U a Ç М = Æ.
Кроме того, числовая прямая обладает двумя важнейшими свойствами, принятыми в качестве аксиом:
1°. Полуотделимость точек - " a, b Î R Ù a ¹ b $ U a | b Ï U a .
2°. Отделимость точек - " a, b Î R Ù a ¹ b $ U a, $ U b | U a Ç U b = Æ.
