Мнимая единица. Уявна одиниця. Imaginary Unit

Исторически комплексные числа возникли при попытках решения алгебраических уравнений 3-й степени. Полученный рецепт вычисления корней (Формулы Кардано,1535 г.) в так называемом “ неприводимом ” виде, давали правильные вещественные корни уравнения с вещественными коэффициентами, когда в промежуточных выкладках допускались обычные алгебраические действия (сложение, умножение, целые степени, корни) над выражениями которые содержали знак не имеющей смысла во множестве вещественных чисел, поскольку квадрат любого вещественного числа не отрицателен: . Оказалось невозможным по настоящему избавиться от таких выкладок, не пряча их в неоправданно громоздкие правила весьма непонятного (если не пользоваться явно ) происхождения и смысла.

В случае квадратичного уравнения с вещественными коэффициентами неизбежно- не приводит в этом случае к каким-либо трудностям сть введения комплексных чисел отсутствует: отказ от рассмотрения комплексных чисел при вычислении вещественных корней, если они есть.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел как векторов или точек на плоскости, лишающая их статуса сугубо формального приёма, действительно полезна и естественна только для того, кто в достаточной мере освоил метод координат (Р.Декарт,1637) и имеет представление о векторной алгебре (Дж., 1881-1884 г.). Без этого такая интерпретация сама должна выглядеть весьма формальной и искусственной. Хотя эти идеи прошли длительный путь развития, мы указываем лишь годы опубликования основополагающих трудов.

При изучении комплексных чисел важно параллельно развивать представление о формально-алгебраическом и начально-геометрическом аспектах, устанавливая, где это необходимо, связь между ними.

Введём мнимую единицу i: Def: .

Конечно, мнимая единица не является вещественным числом:. Обозначение мнимой единицы буквой i ввёл Л.Эйлер,1794; i - первая буква латинского imaginaries-мнимый, воображаемый. поскольку имеет два значения + i и - i т.е. есть два комплексных решения уравнения , то отождествлять мнимую единицу i с выражением некорректно.

Считая множество вещественных чисел лишь подмножеством некоторого более широкого множества комплексных чисел (с - первая буква латинского - complex) куда входит и мнимая единица i. Потребуем чтобы в были определены сложение и умножение с обычными (как и в ) алгебраическими свойствами. Иными словами:

Предполагаем что, множество комплексных чисел является полем.