Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим комплексное число , заданное в алгебраической форме. Перейдем от декартовой системы координат к полярной:

, .

Тогдаполучим: .

Полученная запись называется тригонометрической

формой записи комплексного числа.

При этом величина называется модулем комплексного числа и задает расстояние от точки z до начала координат. Величина задает угол между положительным направлением оси абсцисс и радиусом - вектором направленным в точку z. Эта величина называется аргументом комплексного числа, обозначается и находится неоднозначно а с точностью до величины кратной . . Здесь и называется главным значением аргумента комплексного числа (иногда главным значением аргумента комплексного числа называется угол, удовлетворяющий условию ). Какое из этих значений считается главным должно быть ясно из контекста.

F⁰. Два комплексных числа, заданные в тригонометрической форме равны тогда и только

тогда когда их модули совпадают, а аргументы либо совпадают, либо отличаются на

величину кратную .

Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен (его можно считать равным чему угодно).

Пусть , два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме. Тогда непосредственным умножением легко проверить, что:

, т.е.

при умножении комплексных чисел модули чисел умножаются, а аргументы складыва- ются, а при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Тогда формула задает правило возведения комплексного числа в натуральную степень.