Замечания. Геометрический смысл уравнений и неравенств в координатах

Замечания.

Геометрический смысл уравнений и неравенств в координатах

1⁰. Напомним, что фигурой называется любое множество точек. Рассмотрим фигуру Φ, расположенную на плоскости с заданной на ней аффинной системой координат.

Определение 1. Условием, определяющим фигуру Φ в данной системе координат, называется уравнение, неравенство или система, которым:

1) удовлетворяют координаты любой точки этой фигуры,

2) и не удовлетворяют координаты любой точки, не принадлежащей этой фигуре.

Уравнение, определяющее фигуру Φ, называется уравнением фигуры Φ в данной системе координат.

Координаты в этих уравнениях или неравенствах могут принимать всевозможные значения (точнее, различные значения), поэтому они называются текущими координатами точки фигуры Φ.

1) Метод координат в геометрии состоит в том, что посредством координат точек геометрические объекты или фигуры задают аналитически с помощью чисел, уравнений, неравенств и их систем. Тем самым при доказательстве теорем или решении геометрических задач используют аналитические методы. Это существенно упрощает рассуждения и часто позволяет доказывать теоремы и решать задачи алгоритмически, то есть, производя последовательные или иные вычисления;

2) При изучении геометрических объектов методом координат основными являются 2 задачи:

а) по заданным геометрическим свойствам фигуры составить определяющие ее аналитические условия;

в) по заданным аналитическим условиям, определяющим фигуру, выяснить ее геометрические свойства.

Пример 1. Составим уравнение окружности (омега) радиуса r с центром в начале

прямоугольной декартовой системы координат.

Пусть х и у – некоторые координаты произвольной точки М и плоскости Оху.

1) М. (1)

Координаты любой точки М окружности удовлетворяю уравнению (1)

2) М₁ не принадлежит или.

Таким образом, координаты любой точки М₁, не принадлежащей окружности, не удовлетворяют уравнению (1). Согласно определению 1 уравнение (1) является уравнением окружности в системе координат.

Легко видно, что в соответствующей полярной системе координат уравнение окружности имеет вид: ρ=r, при этом 0⁰≤Ө≤360⁰.

3) Круг, ограниченный этой окружностью, определяется неравенством:

4) Внутренняя область этого круга определяется строгим неравенством:;

5) Внешняя область этого круга определяется неравенством:

Пример 2. По уравнению в полярных координатах построим линию, называемую кардиоидой (кардио - сердце).

М(ρ, Ө): ρ=α(1+cos Ө)

Ө	00	900	1800	2700	3600
ρ	2а	а		а	2а

Составим уравнение кардиоиды в прямоугольных декартовых координатах.

Имеем: cosӨ=

При возведении в квадрат обеих частей уравнения здесь не получается посторонних решений (линия симметрична относительно оси Ох).

2⁰. Пусть фигура Φ₁ задана уравнением: Ғ₁(х,у)=0, а фигура Φ₂ – уравнением: Ғ₂(х,у)=0

Тогда:

1) объединение этих фигур Φ₁ и Φ₂ задается уравнением Ғ₁(х,у) Ғ₂(х,у)=0

2) пересечение этих фигур задается системой уравнений: