Прямоугольная декартова система координат
Замечания.
1) в правой части равенств (*) коэффициентами при служат координаты и вектора в старой системе координат, коэффициентами при - координаты и вектора в старой системе координат, свободными членами – координаты нового начала в старой системе координат;
2) по определению базиса векторы и неколлинеарны, а по теореме из §3: определитель из их координат отличен от нуля:
.
Можно доказать, что если старая и новая системы координат одного типа (например, обе правые), то, если же разных типов, то.
Определение. Аффинная система координат называется прямоугольной декартовой, если ее координатные векторы составляют ортонормированный базис.
;
.
Теорема 1. Расстояние между точками А(х1;у1) и В(х2;у2) в прямоугольной декартовой системе координат выражается формулой:
.
Доказательство. По определению длины вектора имеем:
, где.
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть 1) старая и новая системы координат – прямоугольные декартовы: и; 2) новое начало координат имеет в старой системе координаты и:; 3) новая ось абсцисс составляет со старой осью абсцисс Ox угол α:. Тогда старые координаты х и у точки М выражаются через новые координаты этой точки и по формулам:
1) при системах координат одинаковых типов:
(1)
2.) при системах координат различных типов:
(2)
Доказательство. 1 случай. Пусть обе системы координат правые. Отложим от одной точки О координатные векторы старой системы, и координатные векторы новой системы,.
Так как по условию теоремы,, то по определению косинуса и синуса при α имеем:
(3)
Так как, то аналогично имеем по определению косинуса и синуса угла и формулам приведения:
(4)
Подставляя выражения (3) и (4) в общие формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой из §3, получаем:
(1)
2 случай. Системы координат различных типов, например, старая – правая, новая – левая.
;.
Теорема доказана.
Замечание. В соответствии с замечанием 2 из §2 имеем при системах координат одинаковых типов:
из (1),
а при системах координат различных типов:
из (2).
Следствие 1. Если новая система координат получена из старой с помощью параллельного переноса, то α=00 и формулы (1) принимают вид (cos 00=1, sin00=0):
Следствие 2. Если новая система координат получена из старой с помощью поворота на угол α вокруг начала координат, то х0=у0=0 и формулы (1) принимают вид:
Определение 1. Полярной системой координат называется совокупность точки О – полюса – и проходящей через нее оси р – полярной оси, расположенных на положительно ориентированной плоскости.
Координатами произвольной точки М в этой системе координат называются числа ρ и Ө, где:
1) расстояние ρ=ОМ – полярный радиус,
2) угол Ө между положительным направлением оси р и лучом ОМ – полярный угол, причем 0≤ ρ<+∞, -π<Ө0≤ π – главное значение полярного угла Ө, Ө = Ө0+2πк, к℮Z.
Для полюса О полярный радиус ρ=0, полярный угол не определен.
Замечание 1. Если полюс О совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат Оху, а полярная ось р – с осью абсцисс Ох, то имеем:
x=ρcosӨ
y=ρsinӨ, обратно:
ρ=
tgӨ= для М(х;у), х≠0
Если х=0, то Ө= или Ө= - в зависимости от знака у.
Пример 1. Найти полярные координаты точки М(-2;-2).
ρ = tg Ө=. Так как х<0 и у<0, то точка М находится в III четверти и Ө=1800+450=2250. Итак: ρ =, Ө0=2250
(ρ)
Замечание 2. По определению полярного радиуса ρ≥0, но иногда считают, что ρ может быть и отрицательным. Тогда предполагают, что точка М лежит на продолжении стороны угла Ө и ОМ=. В этом случае полярные координаты называются обобщенными.
Пример 2. ρ =, Ө0=2250
ρ =-, ρ Ө0=450
Определение 2. уравнение вида F(ρ, Ө)=0 называется уравнением линии в полярных координатах, если ему удовлетворяют полярные координаты каждой точки этой линии и только они.