Случай 1.
Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть в системе координат заданы плоскости
, (1)
и
, (2)
соответственно имеющие нормальные векторы и.
Возможны случаи их взаимного расположения.
. (3)
(3) – условие параллельности двух плоскостей.
При этом имеются две возможности:
а) ( плоскости совпадают )
Тогда уравнения (1) и (2) эквивалентные (равносильны), любое из них получается из другого умножением на некоторое число, следовательно:
. (4)
б) (нет общих точек)
Тогда уравнения (1) и (2) не имеют общих решений, следовательно:
. (5)
Случай 2. Плоскости и пересекаются.
Векторы и неколлинеарны, условия (3) не выполняются.
В частности, плоскости и могут оказаться перпендикулярными, тогда, следовательно, и
. (6)
(6) – условие перпендикулярности двух плоскостей.
Замечание 1. Если в формулах (3), (4), (5) какой-либо из знаменателей равен нулю, то запись понимают условно, считая равным нулю и соответствующий числитель.
Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из определяемых им двугранных углов (точнее, его линейный угол).
|
|
Угол между двумя параллельными или совпадающими плоскостями считается равным нулю.
Теорема. Угол между плоскостями с уравнениями (1) и (2) вычисляется по формуле
. (7)
Доказательство.
Обозначим:,, где,.
Случай 1., тогда: и (как углов с соответственно перпендикулярными сторонами).
Случай 2., тогда: и.
В обоих случаях имеем:
.
Теорема доказана.
Замечание 2. Из формулы (7) при получается условие перпендикулярности плоскостей (6).
Определение 1. Множество всех плоскостей, проходящих через данную точку, называется связкой плоскостей, а точка - центром этой связки.
Справедливо утверждение: для того, чтобы плоскость проходила через точку, необходимо и достаточно, чтобы ее уравнение могло быть записано в виде:
, (1)
где не все коэффициенты равны нулю.
При этом, оставляя неизменными и меняя, можно получить уравнение любой плоскости связки с центром. Поэтому уравнение (1) часто называют уравнением данной связки.
Определение 2. Множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую, называется пучком плоскостей, а прямая - осью пучка.
ось |
Пусть заданы уравнения каких-либо двух плоскостей пучка с осью:
, (2)
и
. (3)
Имеет место утверждение: для того, чтобы некоторая плоскость принадлежала этому пучку, необходимо и достаточно, чтобы она имела уравнение вида:
, (4)
где и - числа, одновременно не равные нулю.
Эти утверждения доказываются, как и для пучка прямых на плоскости.
Меняя и, можно получить уравнения любой из плоскостей данного пучка.
Например, при и получаем уравнение (2), а при и получаем уравнение (3).
|
|
Поэтому уравнение (4) называется уравнением пучка плоскостей.
Если положить,, то уравнение (4) принимает более удобный вид:
.
Давая параметру в уравнении (5) различные значения, можно получать уравнения любых плоскостей пучка, кроме плоскости с уравнением (3).
Определение 3. Множество всех плоскостей, параллельных данной плоскости (а, следовательно, и попарно параллельных), называется пучком параллельных плоскостей.
Если в уравнении (1) связки плоскостей, зафиксировав коэффициенты,изменять координаты точки, то будем получать уравнения различных плоскостей пучка параллельных плоскостей.