Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Специальные виды уравнений плоскости

Теорема 2.

1) Всякое уравнение первой степени вида:

ax + by + cz + d = 0, (2),

где хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от нуля, является уравнением некоторой плоскости;

2) Обратно, уравнение любой плоскости может быть заменено в виде (2).

Доказательство.

1) Уравнение вида (2) имеет бесконечное множество решений, пусть (x_o; y_o; z_o) – одно из таких решений, тогда выполняется равенство:

a x_o + by_o + cz_o + d = 0. (3).

Вычитая из уравнения (2) уравнение (3), получим уравнение (1), которое задаёт плоскость, проходящую через точку М_o(x_o; y_o; z_o) и имеющую нормальный вектор. Единственность такой плоскости доказывается методом от противного.

2) Обратно, пусть плоскость задаётся уравнением

,

обозначив получаем уравнение вида (2).

Теорема доказана.

Определение 2. Уравнение плоскости вида (2) называется её общим уравнением.

2^о

Частные виды общего уравнения плоскости:

1) В уравнении (2) отсутствует свободный член:,. Координаты точки О (0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению, плоскость проходит через начало координат.

2) В уравнении (2) отсутствует одна из координат. Пусть, например, отсутствует аппликата z, то есть,.

При этом этот вектор компланарен векторам i и j, следовательно,. Плоскость параллельна оси Oz (и перпендикулярна плоскости Oxy). При плоскость проходит через точку О, и, следовательно, и через ось аппликат Oz.

Аналогично, – уравнение плоскости, параллельных оси Ox (перпендикулярной плоскости Oyz). При d=0 эта плоскость проходит через ось абсцисс Ox.

- уравнение плоскости, параллельной оси Oy ( перпендикулярной плоскости Oxz). При d=0 эта плоскость проходит через ось ординат Oy.

Пример 1. 2x – z = 0.

a = 2, b = 0, c = -1, d = 0 => плоскость проходит через ось ординат Oy. Положим x = 1, y = 0, тогда z = 2, затем положим x = 1, y = 5, снова z = 2.

3) В уравнении (2) отсутствуют две координаты. Пусть, например, отсутствуют ордината y и аппликата z: Плоскость параллельна оси Oy и параллельна оси Oz, следовательно, она параллельна плоскости Oyz (перпендикулярна оси абсцисс Ox). Уравнение её можно записать в виде:

или

Если а_о = 0, то получаем уравнение плоскости Oyz:

Аналогично:

или - уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxz (и ⊥-ой оси ординат плоскости Oy).

При получаем уравнение плоскости Oxz: или - уравнение плоскости, параллельной плоскости Oxy (и перпендикулярной оси аппликат Oz).

При получаем уравнение плоскости Oxy:.

Пример 2. y+2z-4=0, a=0, b=1, c=2, d=-4, плоскость параллельна оси OX

Положим x=y=0 => z=2; X=z=0 =>y=4.

Уравнение координатных осей.

OX=Oxy ∩ Oxz

OY=Oxy ∩ Oyz

OZ=Oxy ∩ Oyz

Пусть три точки общего положения (не лежащие на одной прямой). Как известно из школьного курса геометрии, эти точки определяю единственную плоскость α.

Обозначим M(x y z)- произвольную точку плоскости, где x, y, z – текущие координаты, и рассмотрим векторы:

(x-; y-; z-);

(-; -; -);

(-; -; -;

Их смешанное произведение равно 0, так как эти векторы компланарны:

()=0.

Имеем:

=0 (1)