Расширенная (пополненная) прямая

Пусть на евклидовой плоскости задана прямая и не лежащая на ней точка .

Определение 1. Соответствие между прямой и пучком прямых с центром называется перспективным, если каждой точке прямой соответствует некоторая проходящая через неё прямая этого пучка.

Замечание 1. Это соответствие не является взаимно однозначным (биективным). Например, для прямой нет соответствующей точки на прямой , так как прямые не пересекаются. Чтобы указанное соответствие стало однозначным дополним прямую некоторой новой точкой и будем считать её соответствующей прямой .

Определение 2. Прямая , дополненная точкой , называется расширенной евклидовой прямой и обозначается .

Точка называется несобственной или бесконечно удалённой точкой прямой , а все остальные точки этой прямой (до дополнения точкой) называются собственными.

Замечание 2. Проективное соответствие между расширенной прямой и пучком прямых с центром уже является взаимно однозначным (биективным): любой прямой пучка соответствует некоторая точка (собственная или несобственная) прямой , а любой точке прямой соответствует вполне определённая прямая пучка.

Определение 3. Вектор называется порождающим точку прямой , если он служит направляющим вектором прямой , соответствующей точке .

Так как вектор – направляющий вектор прямой , то он ненулевой. Этот вектор однозначно определяет положение прямой , а, значит, и точки . Одна и та же точка может порождаться различными векторами. Любые две из них коллинеарны и, следовательно, отличаются друг от друга ненулевым числовым множителем:

Замечание 3. Если к векторам, порождающим данную точку, добавить нулевой вектор , то получим одномерное векторное пространство .

Векторы, порождающие все точки расширенной прямой (вместе с нулевым вектором) образуют двумерное векторное пространство , которое состоит из всех векторов некоторой плоскости. Любой его базис состоит из двух неколлинеарных векторов и .