Определение 1: пусть на проективных плоскостях P2 и заданы соответственно проективные системы координат (реперы) R=(Е1,Е2,Е3,Е) и . Отображение f точками P2 на плоскость называется проективным отображением или коллинеацией, если оно любую точку М с координатами х1:х2:х3 в репере R отображаем на точку с такими же координатами в репере .
.
ЗАМЕЧАНИЯ: 1) проективное отображение является взаимно однозначным (биективным);
2) при f точки Е1,Е2,Е3,Е отображаются соответственно на точки , то есть репер R отображается на репер : ;
3) проективное отображение f вполне определяется заданием координатных реперов R и .
Вообще говоря, это отображение вполне определяется заданием любых двух соответствующих реперов, то есть заданием двух соответствующих четырехвершинников ABCD и :
Теорема: проективное отображение f любую прямую u проективной плоскости P2 переводит в некоторую прямую u’ проективной плоскости P2’.
Доказательство: пусть на проективной плоскости P2 задана проективная прямая u своим уравнением относительно репера R:
|
|
u1x1+u2x2+u3x3=0 (*)
Пусть =f(u) и =f(R) – образы прямойu и репера R при отображении f. Так как координаты точек в системе совпадают при коллинеацииf с координатами их прообразов в системе R, то фигура задается в репере тем же самым уравнением (*). Тогда образ прямой u при коллинеацииf будет также некоторой прямой линией проективной плоскости .
Замечания:
4. Справедлива и обратная теорема: «отображение f: P2→, при котором прямая переходит в прямую, является проективным отображением (коллинеацией)». Следовательно, коллинеацию можно определить как отображение переводящее прямую в прямую (сохраняющее прямолинейность точек). Отсюда и происходит название «коллинеация».
5. Проективное отображение проективной прямой P1 на проективную прямую определяется аналогично:
|
| ||||||||||||
| |||||||||||||
| |||||||||||||
Это отображение вполне определяется заданием двух соответствующих реперов R и R’, то есть двух троек (упорядоченных соответствующих точек А, В, С и A’, B’, С’.
|
| ||||||||
Определение: пусть p и p’– две различные прямые проективной плоскости P2 и точка Q – точка этой плоскости, на них не лежащая. Отображение прямой p на прямую p’ называется перспективным отображением или центральным проектированием, если образом точки Mp служит M’p’ такая, что M’=QMp’.
Точка Q называется центром перспективы или центром проектирования.
|
|
Замечание:
6. Можно доказать, что перспективное отображение прямой является частным случаем проективного отображения.