Принцип (лат. PRINCIPIUM – начало, основание) – основное, исходное.
Принцип двойственности: если справедливо предложение ∆ о взаимной принадлежности точек и прямых проективной плоскости, то справедливо и так называемое двойственное предложение ∆*, которое получается из ∆ заменой слова «точка» словом «прямая» и слова «прямая» словом «точка».
Обоснование: выберем на проективной плоскости P2 проективный репер R(E1,E2,E3,E) и поставим в соответствие каждой точке А (а1:а2:а3)R прямую а с уравнением
(1)
то есть прямую с теми же координатами, что и у точки А:
Данное соответствие ψ является биекцией. Покажем, что соответствие ψ сохраняет взаимную принадлежность точек и прямых:
(2) |
В самом деле, условие принадлежности точек А прямой b записывается в виде: . Переписав его в виде: , заключаем, что точка В прямой a.
Запись (2) читается так:
«если точка А лежит на прямой b, то прямая a проходит через точку В» или
«если прямая b проходит через точку А, то точка В лежит на прямой a».
|
|
Из того, что отображение ψ сохраняет взаимную принадлежность (инцидентность) точек и прямых проективной плоскости, и «вытекает» принцип двойственности.
Пример: следующие предложения являются двойственными:
∆: Каждой прямой принадлежит бесконечное множество точек.
∆*: Каждой точке принадлежит бесконечное множество прямых (или: через каждую точку проходит бесконечное множество прямых).
ЗАМЕЧАНИЕ: принцип двойственности позволяет принять без доказательства одну из двойственных теорем, если доказана другая теорема.
Ранее была доказана теорема 1 (см. § 5):
«Через любые две различные точки проективной плоскости проходит единственная прямая».
Справедливость двойственной ей теоремы 2 следует из принципа двойственности: «Любым двум различным прямым проективной плоскости принадлежит (инцидентна) единственная точка» или «Любые две различные прямые одной проективной плоскости пересекаются в одной точке».