Корреляционный анализ

Корреляционный анализ применяется для анализа детерминированных и стохастических сигналов с целью выявления святи между ними.

Определения – напоминания:

Пусть есть последовательности и со средними их оценками:

. (1)

и дисперсией:

. (2)

Мерой связи этих последовательностей является ковариантность , которая определяется выражением:

. (3)

В случае знакопеременной величины, т.е. , :

. (4)

Коэффициентом корреляции двух случайных величин является нормированная ковариантность:

. (5)

Последовательности и могут быть получены в виде выборки, зависящей от времени функции и , т.е. и .

Значения ковариации или корреляции можно проверить для величин, выборки которых были сделаны в одно и то же время, либо для величин, полученных в настоящей и в предыдущей выборке. В этом случае вычисляется ковариантность из выборки , сделанной в момент времени и выборки – с запаздыванием .

Для каждого значения () возникают разные значения ковариантности. Отсюда появляется функция, зависящая от времени задержки . Эта функция называется взаимокорреляционной функцией (ВКФ) и может быть записана в разных формах:

, (6)

либо

, (7)

либо

. (8)

Корреляция не зависит от выбранной нулевой точки на оси времени, поэтому:

. (9)

Если вместо задержать , то ВКФ зеркально отражается:

. (10)

Возможно также изучение зависимостей отдельного сигнала от его предыдущих значений, в этом случае получаем автокорреляционную функцию (АКФ):

, . (11)

Пример:

Дано: , .

Найти: , .

:

:

.

8.2. Непрерывные корреляционные функции.

Для непрерывных сигналов x(t) и y(t) можно записать среднее значение и дисперсию

(12)

Ковариантность между сигналами:

. (13)

В случае знакопеременных величин:

эффективное значение сигнала -

ковариантность

корреляционные функции ,

где τ – величина задержки (сдвига) сигнала.

Нормированная ВКФ равна .

Свойства АКФ

6. АКФ периодического сигнала является периодической функцией с той же частотой, что и сама зависящая от времени функция.

7. АКФ периодического сигнала, независимо от его фазы является функцией косинуса.

8. АКФ является четной функцией. .

9. АКФ с аргументом дает квадрат эффективного значения:

. (14)

10. АКФ имеет максимум в точке . Для периодических сигналов максимум повторяется.

11. АКФ убывает тем быстрее, чем более широким и равномерным является спектр этого сигнала.

12. В случае белого шума АКФ имеет единственное ненулевое значение в точке максимума при .

8.3. Представление спектра корреляционных функций.

Теорема Винера-Хинчина.

Корреляционные функции зависят от времени. Их можно трансформировать в частотную область. При этом получают автоспектральную плотность мощности (АСПМ) S_xx взаимоспектральную плотность мощности (ВСПМ) S_xy. Справедливо и обратное преобразование:

. (15)

Таким образом между корреляционными функциями и спектральными плотностями имеют место следующие преобразования (теорема Винера – Хинчина).

АКФ АСПМ

ВКФ ВСПМ

Равенство Парсеваля устанавливает, что АСПМ равна квадрату амплитудного спектра, деленного на интервал наблюдения.

. (16)

Аналогично для ВКФ:

. (17)

Применение теоремы Винера-Хинчина.

Функции преобразования во временной и спектральной областях, сопоставленные между собой, приведены в табл.1.

Таблица 1. Трансформации между функциями временной и спектральной областей.

Временная область	Спектральная область

Для вычисления корреляционных коэффициентов существуют два пути:

1. По функции , зависящей от времени, с помощью преобразования Фурье вычисляется спектральная функция . Следовательно, становится известен амплитудный спектр. Теперь можно получить АСПМ.

2. По функции , зависящей от времени, вычисляется сразу АКФ.

8.4. Практическое применение корреляционного анализа

Выделение коррелированных составляющих сигналов.

Рассмотрим сигнал , на который накладываются помехи некоррелированные и :

. (18)

Рис 1. Выделение коррелированных составляющих сигнала.

Найдем ВКФ:

,

Примем, что и не имеют постоянной составляющей, тогда

. (19)

Из полученных результатов видно, что ВКФ не зависит от помех, т.е. при вычислении взаимной корреляции двух сигналов сохраняются только коррелированные составляющие, а шум в значительной мере устраняется.

Измерение времени задержки

Рассмотрим такую схему. Движущуюся среда просвечивается и ведется наблюдение двумя фотодетекторами, которые помещены один за другим в направлении движения среды. Среда неоднородна, поэтому оба детектора через определенный промежуток времени наблюдают примерно одну и ту же ситуацию и выдают сигналы

Лекция №9. Информационные технологии в обработке речи.