Струны методом Даламбера

Решение задачи Коши о свободных колебаниях

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Пусть струна является настолько протяжённой, что за интересующее нас время колебание, вызванное отклонением точек некоторого среднего участка струны, не успевает достигнуть её концов. В этом случае граничные условия можно не учитывать. Это задача Коши о бесконечной струне.

Решение задачи сводится к решению уравнения колебаний струны

(4.1.1)

при начальных условиях:

Таким образом, для нахождения и необходимо решить систему уравнений:

(4.1.4)

Для упрощения второго уравнения системы найдём от его правой и левой частей интеграл с переменным верхним пределом:

Поделив обе части на, и подставив верхний и нижний пределы в левой части, получим:

Обозначим. Тогда:

Таким образом, система (4.1.4) приобретает вид:

Поочерёдно складывая и вычитая уравнения, выразим функции и

Заменим в полученных значениях и аргумент соответственно на и. Получим:

Подставим полученные значения в решение Даламбера (4.1.3), и, после упрощения выражения, получим формулу Даламбера:

(4.1.5)

Полученная формула (4.1.5) является решением уравнения колебаний струны (4.1.1), полностью удовлетворяющим начальным условиям (4.1.2).

4.2. Решение смешанной задачи о колебаниях конечной струны
с закреплёнными концами методом Фурье

Рассмотрим задачу в свободных колебаниях струны, закреплённой на обоих концах. Она сводится к решению уравнения колебаний струны

(4.2.1)

при граничных условиях

(4.2.2)

и начальных условиях

, следует, что:

Первое уравнение системы решается следующим образом:

Взяв интеграл от обеих частей, получим:

Решение второго уравнения системы:

Таким образом:

где — некоторые произвольные постоянные. Подставив полученные решения в (4.3.3), получим частное решение уравнения (4.3.1.):

Можно заметить, что для любого значения полученное частное решение будет являться решением уравнения (4.3.1). Следовательно, коэффициенты, и могут быть произвольными коэффициентами от. Обозначим,. Тогда, семейство частных решений уравнения теплопроводности (4.3.1.) имеет вид:

(4.3.4)

Поскольку а уравнение (4.3.1) линейное и однородное, то суперпозиция частных решений (4.3.4):

(4.3.5)

Функции и должны быть такими, чтобы выполнялось начальное условие (4.3.2). При множитель становится равным единице, а функция обращается в. Тогда:

(4.3.6)

Из математического анализа известно, что обобщением ряда Фурье для всей числовой оси является интегральная формула Фурье:

(4.3.7)

где коэффициенты и находятся по формулам

Подставим коэффициенты и в интегральную формулу Фурье:

Внесём и под знак интеграла, и, воспользовавшись формулой косинуса разности углов, свернём полученное выражение:

(4.3.8)

Из сравнения (4.3.5) и (4.3.7), и с учётом (4.3.8), следует, что решением (4.3.1), удовлетворяющим начальным условиям, будет функция:

Упростим полученное решение. Учитывая чётность функции косинуса, запишем:

Из математического анализа известно, что:

С учётом последней формулы, общее решение уравнения теплопроводности (4.3.1), удовлетворяющее начальному условию (4.3.2), имеет вид:

(4.3.9)

Полученное решение (4.3.9) называется формулой Пуассона.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

1 2 3 4 5 6 7

Формы и методы осуществления функций государства

Признаки и понятия правового государства. Понятие, признаки и пути формирования правового государства

Соотношение системы права и системы законодательства

Правосознание: понятие, структура, виды

Суд и судебный процесс в Законах Хаммурапи

Охрана редких и вымирающих видов

Самый сильный аргумент, почему эволюция человека не могла быть