Вопросы для самопроверки

Специальные функции

Понятие о методе функции Грина

Метод функции Грина широко используется в теоретической физике, особенно в квантовой теории поля и статистической физике. Функция Грина описывает распространение полей от источников их порождающих.

Представление о методе функции Грина можно получить из анализа решения задачи об охлаждении бесконечного стержня. Как уже это было показано раньше, эта задача сводится к решению уравнения теплопроводности, при начальном условии.

В методе функции Грина предполагают, что решение этой задачи можно представить в виде:

(4.6.1)

где s — переменная интегрирования, — функция Грина, конкретный вид которой необходимо определить.

Физический смысл функции Грина состоит в том, что она является решением рассматриваемой задачи для «точечного» начального условия. В рассматриваемой задаче она показывает как влияет точечный тепловой импульс на распределение температуры в стержне в различные моменты времени. Построение функции Грина должно быть таким, чтобы решение (4.6.1) удовлетворяло начальным условиям. В частности, применение метода функции Грина к решению задачи Коши об охлаждении бесконечного стержня приводит к решению вида (4.3.9), из которого хорошо видно значение соответствующей функции Грина.

К специальным функциям относятся рассмотренные ранее сферические функции, шаровые функции, полиномы Лежандра, функции Бесселя. Кроме этого, важное значение при решении задач математической физики играют такие специальные функции как полиномы Эрмита и функции Лагерра.

Полиномы Эрмита определяются формулой:

а функции Лагерра находятся из формулы:

Эти функции используется при решении задач о движении электрона в кулоновом поле, о распределении электромагнитных волн вдоль длинных линий и т.д.

Специальные функции обладают свойством ортогональности.

Ортогональными на интервале называются функции, для которых справедливо равенство:

где — вес,.

Ортогональность специальных функций позволяет при решении широкого класса задач математической физики прибегать к разложению в ряды по этим функциям.

1. В каком виде ищется решение задачи Коши о колебаниях струны методом Даламбера?

2. В каком виде ищется решение дифференциального уравнения методом Фурье?

3. В каком из методов решение ищется в виде суперпозиции бегущих волн?

4. В чём заключается физический смысл решения задачи о колебаниях закреплённой струны методом Фурье?

5. Как образуются стоячие волны?

6. На какие характеристики колебаний струны влияют начальные условия?

7. От каких величин зависит частота основной гармоники колебаний закреплённой струны?

8. Можно ли применять метод Фурье для решения задачи Коши о распространении тепла в бесконечном стержне?

9. Какое решение уравнения теплопроводности называют фундаментальным? В чём заключается его физический смысл?

10. В чём заключается физический смысл решения задачи Коши об охлаждении бесконечного стержня?

11. Какие функции называют гармоническими?

12. Что является обобщением ряда Фурье для всей числовой прямой?

13. К разложению в какой ряд сводится решение уравнения Лапласа в области со сферической симметрией?

14. Сформулируйте задачу Дирихле для шара.

15. К разложению в какой ряд сводится решение уравнения Лапласа в области с цилиндрической симметрией?

16. В чём заключается идея метода функции Грина?

17. Перечислите примеры специальных функций.

18. Какие функции называют ортогональными?