Теорема

Формула полной вероятности.

Основные формулы теории вероятностей.

Лекция 4.

Зависимые события. Вероятность произведения зависимых событий.

События А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или не произошло другое событие.

Пример: В коробке находится a белых и b черных шаров. По очереди один за другим извлекаются 2 шара и назад не кладутся.

Обозначим случайные события:

A-1-й шар белый;

B- 2-й шар белый.

Р(А)=

Если событие А не произошла, то вероятность события В

Р(В)=

Вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью, и обозначается Р(В/А) или

Для условной вероятности имеют место формулы:

P(A|В) =

P(В|А)=

Теорема: Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

Теорема следует из формулы: Итак, P(А*В)=P(В)* Р(А|В) или Р(А*В)=P(A)*P(B|A). Распространим эту теорему на любое число зависимых событий:

Р(= Р(*P(*P (()

Вероятность события А, вычисленная при условии осуществления одного из несовместных событий H1, H2,H3……. Hn,образующих полную группу,находится по формуле:

,формула полной вероятности.

Пример. В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой — 4 белых и 5 красных, во второй — 7 белых и 3 красных. Из второй урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну. Найти вероятность того, что наудачу взятый после этого из первой урны шар будет белым.

Решение. Перекладывание из второй урны в первую белого шара (событие В ₁) и красного шара (событие В ₂) образует полную группу независимых событий. Их вероятности соответственно P(B ₁ ) = 0,7 и Р(В₂) = 0,3. Условные вероятности извлечения из первой урны белого шара (событие А) при добавлении туда белого или красного шара из второй урны соответственно равны Р_B₁(А) = 0,5 и Р_B2(А) = 0,4. Искомая вероятность находится по формуле при п = 2:

Пример. В двух ящиках находятся детали: в первом — 10 штук и из них 3 нестандартные, а во втором — 20 штук и из них 8 нестандартных. Из каждого ящика наудачу вынуто по одной детали, а потом из этих двух деталей наудачу взята одна. Найти вероятность того, что эта деталь окажется стандартной.

Решение. При первой выборке двух деталей возможны четыре случая, которые образуют полную группу независимых событий. События B_ss, B_sn, B_ns, B_nn соответствуют случаям изъятия: из первого и второго ящиков по стандартной детали, из первого ящика — стандартной и из второго — нестандартной деталей, из первого ящика — нестандартной и из второго — стандартной, из первого и второго ящиков по нестандартной детали. В свою очередь события В_ik (i, k = s, n) представляют собой произведения независимых событий — изъятия из каждого ящика по детали, и потому их вероятности равны соответствующим произведениям вероятностей этих изъятий: P(B_ss) = 0,7 • 0,6 = 0,42; P(B_sn) = 0,7 • 0,4 = 0,28; P(B_ns) = 0,3 • 0,6 = 0,18; P(B_nn) = 0,3 • 0,4 = 0,12. Условные вероятности выборки из двух деталей стандартной, согласно перечисленным выше возможным случаям, равны: