Тригонометрия

Модули

Квадратные уравнения

Степени

Логарифмы

Оглавление

Киев - 1981

Математика

Конспект

для абитуриентов

1. Логарифмы……………………….3

2. Степени…………………………...4

3. Квадратные уравнения…………..5

4. Модули………………………..….6

5. Тригонометрия…………………...7

6. Неравенства…………… ……….17

7. Планиметрия…………………….21

8. Стереометрия…………………....26

9. Графики………………………….30

10. Производная……………………..41

11. Интеграл………………………….46

12. Векторы и координаты……….....51

13. Разное…………………………….56

14. Теория вероятностей и

математической статистики…….62

Определение: log _a N = k a^k = N; N > 0, a > 0, a ≠ 1;

1. log _c (a∙b) = log _c a + log _c b;

2. log _c = log _c a − log _c b;

3. log _c aⁿ = n∙log _c a;

4.

5. − основное логарифмическое тождество

6. log _c a =; − формула перехода

7. log _b a∙log _a b = 1; log _b a =;

9. log _a a = 1;

10. log _a 1 = 0;

11.

Логарифмы бывают трёх видов:

1) общего вида log _a b;

2) десятичные логарифмы lg x = log ₁₀ x;

3) натуральные логарифмы ln x = log _e x,

1. a^m ∙ aⁿ = a^m+n;

2. = a^{m − n};

3. = a^m∙n;

4. =;

5. a^–n =;

6. a⁰ = 1 при a ≠ 0; (0⁰ – смысла не имеет)

7. =;

8. aⁿ ∙ bⁿ = (a ∙ b)ⁿ;

9. =;

10. =;

11. =;

12. =;

1. a∙x² + b∙x + c = 0; b − нечетное;

D = b² − 4∙a∙c; x_1,2 =;

2. a∙x² + b∙x + c = 0; b − чётное;

D = − a∙c; x_1,2 =;

3. x² + p∙x + q = 0; p − чётное;

D = − q; x_1,2 = −;

4. Теорема Виета для квадратного уравнения:

x² + p∙x + q = 0;

x₁ + x₂ = −p;

x₁ ∙ x₂ = q;

1. Определение модуля:

a при a ≥ 0;

│a│ =

–a при a < 0;

2. Если │A│ = 5, то A = 5 или A = −5;

3. Если │A│ = −2, то равенство не имеет смысла, т.е. AØ;

4. Если │A│ = 0, то A = 0;

5. =;

6.

7. Если │A│ < 5, то −5 < A < 5;

8. Если │A│ > 7, то A > 7 или A < −7;

9. Если │A│ > −3, то −∞ < A < +∞;

10. Если │A│ < −2, то неравенство не имеет смысла, т.е. A Ø;

1. Единицы измерения углов:

градус − часть окружности;

минута − часть градуса;

секунда − часть минуты;

радиан − центральный угол, длина дуги которого равна его радиусу;

1 радиан = 57°17´44,806˝;

π радиан = 180°;

1° = 0,017 453 292 519 943 радиана;

π = 3,14 159 265 358 979 323 846 264…

2. Знаки по четвертям

sinα; cosecα cosα; secα tgα; ctgα

+ + − + − +

− − − + + −

3. Периоды тригонометрических функций

sin(x + 2∙k∙π) = sin x; T = 2∙π;

cos(x + 2∙k∙π) = cos x; T = 2∙π;

tg(x + k∙π) = tg x; T = π;

ctg(x + k∙π) = ctg x; T = π;

4. Основные соотношения между функциями одного и того же аргумента

;;

;;

;;

;;

5. Изменение знака аргумента

(чётность и нечётность функций)

sin(−x) = −sin x; нечётная

cos(−x) = cos x; чётная

tg(−x) = −tg x; нечётная

ctg(−x) = −ctg x; нечётная

sec(−x) = sec x; чётная

cosec(−x) = −cosec x; нечётная

6. Формулы приведения

1) номер четверти;

2) знак функции в этой четверти;

3) “негритянское” правило:

π или 2∙π (горизонтальная ось−нет) − не менять на кофункцию;

или (вертикальная ось−да) − менять на кофункцию;

7. Обратные тригонометрические функции

y = arcsin x y = arccos x

−1 ≤ x ≤ 1 ≤ arcsin x ≤ 0 ≤ arcos x ≤ π

y = arctg x

y = arcctg x

−∞ < x < +∞ < arctg x < 0 < arcctg x < π

;

;

;

;

при −1 ≤ x ≤ 1;

при −1 ≤ x ≤ 1;

при −∞ < x < +∞;

при −∞ < x < +∞;

при;

при;

при;

при;

при −1 ≤ x ≤ 1;

при −∞ < x < +∞;

8. Таблица значений тригонометрических функций для некоторых

значений аргумента

α градусы	0°	15°	22°30´	30°	45°	60°	67°30´	75°	90°
α радианы
sinα
cosα
tgα									не сущ.
ctgα	не сущ.

9. Решение простейших тригонометрических уравнений

Общие формулы:

1)

k Z;

2)

k Z;

3)

k Z;

4)

k Z;

Частные случаи:

k Z;

k Z;

k Z;

k Z;

k Z;

k Z;

k Z;

k Z;

k Z;

10. Формулы суммы и разности двух аргументов

11. Формулы двойного аргумента

12. Формулы тройного аргумента

13. Формулы половинного аргумента

14. Выражение через тангенс половинного аргумента

Если, то

15. Преобразование суммы в произведение

16. Преобразование произведения в сумму

формулы

понижения степени

17. Выражение произведения через сумму

1) если, то

2) если, то

18. Формулы тройного аргумента

19. Некоторые числовые значения

Вывод этих формул:

сокращаем далее на cos18° и т.д.

20. Вычисление прямых функций от обратных

обратные прямые	arcsin x	arccos x	arctg x	arcctg x
sin	x
cos		x
tg			x
ctg				x

21. Геометрическая интерпретация тригонометрических функций