Основные теоремы о пределах. Два замечательных предела

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых функций.

Функция a(х) называется бесконечно малой при или, если или.

Если функция a(х) является бесконечно малой при, то из определения предела следует, что для любого произвольного числа e > 0 найдется такое число, что для всех х, удовлетворяющих условию будет выполняться условие Это означает, что в своем изменении бесконечно малая функция может сделаться меньше любого, сколь угодно малого числа e.

Свойства бесконечно малых функций.

1. Сумма конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.

3. Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Рассмотрим функции, которые при своем изменении могут сделаться больше любого сколь угодно большого числа. Такие функции называются бесконечно большими.

Функция f(x) называется бесконечно большой при, если для любого числа M > 0 найдется такое число, что для всех х,, выполняется неравенство.

В этом случае говорят, что функция f(x) стремится к бесконечности при х ® а и записывают.Учитывая это обстоятельство, можно дать определение бесконечно большой функции следующим образом:

Функция f(x) называется бесконечно большой при х ® а, если.

Между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями существует простая связь: если функция f(x) есть бесконечно малая при, тогда при этом же стремлении х функция будет бесконечно большой.

Теорема 1. Всякую функцию, имеющую предел можно представить в виде суммы этого предела и бесконечно малой функции, т.е. если, то f(x) = A + a(x), где a(х) – бесконечно малая при х ® а

Теорема 2. Пусть функции имеют предел при, тогда при одном и том же стремлении х:

1) Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов для каждого слагаемого.

2) Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов для каждого сомножителя.

3) Предел частного двух функций равен частному пределов числителя и знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю

при условии, что

4) Предел степенно-показательного выражения находится по формуле:

5) Для всех основных элементарных функций в произвольной точке их области определения имеет место равенство

Теорема 3. (о поведении функции, заключенной между двумя другими функциями, имеющими предел)

Пусть функции u(x). f(x) и v(x) определены в окрестности точки а и в этой окрестности удовлетворяют неравенству и пусть функции u(x) и v(x) имеют равный предел при, Тогда и функция f(x) имеет при предел, равный А,