Остаться преданным Христу

Способы определения радиуса сходимости степенного ряда.

Сходится

Степенные ряды. Теорема Абеля.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(1)

членами которого являются степенные функции, где – постоянные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Иногда рассматривают степенные ряды по степеням разности

Ряд сводится к ряду (1) с помощью замены переменной (х - а)= X. Поэтому для изучения свойств степенных рядов применяются степенные ряды (1). Полученные результаты будут справедливы и для рядов.

Область сходимости степенного ряда устанавливается теоремой Абеля.

Теорема Абеля. 1.Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении, то он абсолютно сходиться при всяком значении x удовлетворяющем условию, т.е. ряд сходиться на интервале (рис. 1).

Рис. 1

2. Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении, то он расходится при всяком значении x, удовлетворяющем условию (рис. 2).

Рис. 2

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда (1) будет интервал с центром в начале координат. Для ряда центр интервала сходимости находится в точке х = а.

Радиусом сходимости степенного ряда (1) называется неотрицательное число R такое, что при всех степенной ряд сходится, а при всех - расходится. Интервал называется интервалом сходимости ряда

(рис 3).

расходится -R О R расходится

Рис. 3

1. Используя признак Даламбера, можно получить формулу для нахождения радиуса сходимости степенного ряда виде

2. Используя признак Коши, можно получить формулу для нахождения радиуса сходимости степенного ряда в виде

Пример 1. Найти радиус сходимости степенного ряда

Решение. Для поучения радиуса сходимости применим формулу (2). Имеем

Поэтому,

.

Значит, степенной ряд сходиться в интервале (-3;3). На концах этого интервала ряд может сходиться или расходиться. При получаем знакочередующийся числовой ряд который сходится по признаку Лейбница. При x =3 получаем гармонический ряд, который, как известно, расходится. Следовательно, областью сходимости исходного степенного ряда является полуинтервал.

Иоан.14:1-12 Да не смущается сердце ваше; веруйте в Бога, и в Меня веруйте. 2 В доме Отца Моего обителей много. А если бы не так, Я сказал бы вам: Я иду приготовить место вам. 3 И когда пойду и приготовлю вам место, приду опять и возьму вас к Себе, чтобы и вы были, где Я. 4 А куда Я иду, вы знаете, и путь знаете. 5 Фома сказал Ему: Господи! не знаем, куда идешь; и как можем знать путь? 6 Иисус сказал ему: Я есмь путь и истина и жизнь; никто не приходит к Отцу, как только через Меня. 7 Если бы вы знали Меня, то знали бы и Отца Моего. И отныне знаете Его и видели Его. 8 Филипп сказал Ему: Господи! покажи нам Отца, и довольно для нас. 9 Иисус сказал ему: столько времени Я с вами, и ты не знаешь Меня, Филипп? Видевший Меня видел Отца; как же ты говоришь, покажи нам Отца? 10 Разве ты не веришь, что Я в Отце и Отец во Мне? Слова, которые говорю Я вам, говорю не от Себя; Отец, пребывающий во Мне, Он творит дела. 11 Верьте Мне, что Я в Отце и Отец во Мне; а если не так, то верьте Мне по самым делам. 12 Истинно, истинно говорю вам: верующий в Меня, дела, которые творю Я, и он сотворит, и больше сих сотворит, потому что Я к Отцу Моему иду.

12 Говорю вам истинную правду: тот, кто верит в Меня, будет делать те же дела, что и Я, и даже большие сделает, потому что Я отправляюсь к Отцу. (Совр., рус. пер., РБО)

1Кор.1:22 Ибо и Иудеи требуют чудес, и Еллины ищут мудрости; 23 а мы проповедуем Христа распятого, для Иудеев соблазн, а для Еллинов безумие, 24 для самих же призванных, Иудеев и Еллинов, Христа, Божию силу и Божию премудрость;

22 Потому что в то время как евреи требуют в доказательство чудес, а греки ищут мудрости, 23 мы возвещаем Христа, распятого на кресте! Для евреев это камень преткновения, для язычников - глупость, 24 а для тех, кто призван - и евреев, и греков, - это Христос, явивший собой и Божью силу, и Божью мудрость. (Совр., рус. пер., РБО)

Деян.1:1 Первую книгу написал я [к тебе], Феофил, о всем, что Иисус делал и чему учил от начала.

2Кор.11:3 Но боюсь, чтобы, как змий хитростью своею прельстил Еву, так и ваши умы не повредились, [уклонившись] от простоты во Христе.

3 …Как бы и ваш ум не оказался совращен и не отдалился бы от безраздельной и чистой преданности Христу. (Совр., рус. пер., РБО)

…Так и ваши умы могут уклониться от искреннего и чистого посвящения Христу. (Пер. IBSNT)

1. Что делал Иисус Христос?