Действия над матрицами

Глава 1. Матрицы

Раздел 1. Линейная и векторная алгебры

BIBLIOGRAPHY

1. Lakhtin Yu. Engineering Physical Metallurgy and Heat-treatment.-Moscow: Mir Publishers, 1974, - 416 p.

2. Texнология металлов и материаловедение /B.B. Kнорозов, Л.O. Усова, A. B. Tpeтьяков и др. - M.: Meталлургия, 1987. - 800c.

3. Металловедение и технология металлов /Ю.П. Солнцев, В.А. Веселов, В.П. Демянцевич и др. – М.: Металлургия, 1988. - 512 c.

Матрицей А называется таблица чисел. Если матрица состоит из m строк и n столбцов, то говорят, что размерность матрицы есть m на n. Количество элементов в такой матрице равно произведению mn. Обозначение матрицы

(1.1)

или сокращенно A=(a_ij)_{m n}. Числа a_ij, составляющие матрицу, называются ее элементами. Первый индекс указывает номер строки, второй - номер столбца.

Матрица называется прямоугольно й,если mn, Если m=n, то матрица называется квадратной и число n - порядком матрицы. Матрица, содержащая один столбец, называется матрица-столбец. Матрица, состоящая из одной строки - матрица-строка. У таких матриц элементы могут иметь только один номер.

; (1.2)

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Для квадратной матрицы порядка n (число строк равно числу столбцов и равно n) A=(а_ij)_n,n, элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn с одинаковыми индексами образуют главную диагональ. Элементы a_{1 n}, a_{2 n-1},..., a_{n 1} образуют побочную диагональ. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю: a_ij=0 при ij. Диагональная матрица обозначается так

. (1.3)

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны, единице называется единичной и обозначается

(1.4)

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю:

,. (1.5)

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое детерминантом или определителем, которыйобозначается символами detA или D(A) или |a_ij|.

Для матрицы определитель находится по формуле: произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали

det(A) = = a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a_21. (1.6)

Для матрицы определитель находится по формуле

det(A) = = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂ a₃₁ –

- a₁₂ a₂₁ a₃₃ - a₁₁a₂₃ a_32. (1.7)

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение:

Определитель единичной матрицы равен единице det I = 1.

Минором M_ik называется определитель меньшего порядка (размера), полученный при вычеркивании i-той строки и k-того столбца.

Алгебраическим дополнением A_ik называется минор, знак которого определяется по правилу A_ik = (-1)^i+k M_ik.

Определитель можно представить в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения, например

, (1.8)

где

, ,……..

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A¹0, и вырожденной (особенной), если det A=0. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

. (1.9)

Равенство матриц. Две матрицы A=(a_ij)_m,n и B=(b_ij)_k,q называются равными, если они одинаковы по размеру (m=k, n=q) и их соответствующие элементы равны (a_ij = b_ij).

Сложение матриц. Складывать можно лишь матрицы одинакового размера. Суммой двух матриц A=(a_ij)_m,n и B=(b_ij)_m,n называется матрица C=(c_ij)_m,n того же размера, причем элементы матрицы C равны сумме соответствующих элементов матриц A и B, т.е.

C = A+B, если c_ij = a_ij + b_ij. (1.10)