Пример. Умножение матрицы на число

Пример.

.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A=(a_ik)_m,n на число a называется матрица C=(c_ij)_m,n, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы A умножением на число a:

C = a A, где c_ij = a×a_ij. (1.11)

.

Операции сложения матриц и умножения число называются линейными операциями. Эти операции обладают следующими свойствами:

A + B = B + A (перестановочный закон);

(A + B) + C = A + (B + C) (сочетательный закон);

(a+b)A=aA+bA (распределительный закон);

(A + B) = A + B;

A + (-A) = 0

A + 0 = A,

где A, B, C, 0 матрицы одного размера, a, b - числа.

Замечание. Пусть A, B - квадратные матрицы порядка n > 1. Линейные операции над матрицами не переносятся на их определители, т.е. det(A+B) ¹ detA + detB, det(aּA) ¹ aּdetA, но det(aA)=aⁿ ּdetA.

Произведение матриц. Произведение матриц A_mkּB_kn = C_kn определено только в том случае, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица С имеет размер mּn. Элементы матрицы С определяются по формуле

(1.12)

Умножение матриц производится по правилу "строка на столбец".

Произведение матриц не перестановочно, в общем случае AּB BּA.

Пример. Найти произведения матриц A = и B = .

Поскольку это квадратные матрицы одного размера, то умножение таких матриц возможно, причем существует и АВ и ВА. В соответствии с (2.2) имеем:

Свойства операции умножение матриц:

1) Aּ (BּC) = (AּB) ּС;

2) aּ (AּB) = (aּA) ּB = Aּ (aּB);

3) (A+B) ּC = AּC + BּC;

4) Cּ (A+B) = CּA + CּB,

где a - число, A, B, C матрицы, для которых произведения cуществуют;

5) если A, B - квадратные матрицы одного порядка, то

det (AּB) = detA ּ detB.

Транспонирование матриц. Рассмотрим произвольную матрицу

.

Матрица полученная из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к A.

Например, если A = , то A^t = .

Свойства операции транспонирования матриц

1) (A^t)^t = A;

2) (A + B)^t= A^t+ B^t;

3) (aּA)^t= aA^t:

4) (AּB)^t = B^tּA^t,

(AּB)^t = B^tּA^t, где A и B - матрицы, a- число;

5) Если A- квадратная матрица, то detA=detA^t.