Второй замечательный предел, число е

Число е определяется как следующий предел

, или , где число е = 2,718…., (3.13)

Число е является основанием так называемых натуральных логарифмов .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Числитель и знаменатель дроби при стремятся к нулю. Преобразуем функцию, выделим общий множитель

.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.

.

Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень x первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на x, получим

.