Приложения векторного произведения
1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен
(объем тетраэдра, меньше объема соответствующего параллелепипеда в ______ раз).
1а. Векторы компланарны .
2. Тройка правая ; тройка левая .
Последовательность издействительных чисел, расположенных в определенном порядке, называется - мерным вектором. Совокупность всех -мерных векторов () обозначим . Введем в операции сложения и умножения на вещественное число поэлементно: ,
нуль-вектором назовем вектор, все координаты которого равны нулю: .
Множество, на котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие обычным свойствам арифметических действий, называется линейным пространством. Т.о., множество с введенными выше операциями является линейным пространством.
Совокупность из векторов пр-ва будем называть линейно независимой, если их линейная комбинация
(*)
лишь при условии . В противном случае, т.е. если существуют такие числа не все равные нулю, что выполняется равенство (*), совокупность назовем линейно зависимой.
Векторы в пространстве являются линейно зависимыми, т.к. существует их нетривиальная (не все равны нулю) линейная комбинация, равная нуль-вектору: .
Обозначим – вектор из , все координаты которого равны нулю, за исключением -ой, которая равна :
.
- Эта система векторов линейно независима;
- любой вектор единственным образом можно представить в виде линейной комбинации этих векторов: