Метод кусочно-линейной аппроксимации

Метод расчета переходных процессов основанный на условной линеаризации нелинейных элементов.

Метод последовательных интервалов (метод Эйлера).

Относится к численным приближенным методам. Расчет начинается с определения времени переходного процесса. Обозначим его буквой S.

Затем S разбивается на равные интервалы, т.е. на S набрасывается сетка. Границы интервалов – узлы сетки. Длительность интервала обозначается h – шаг сетки. Затем составляется диф.уравнение по закону Кирхгоф и дифференциалы заменяются на конечные разности.

Этим методом можно решать уравнения первого порядка.

Рассмотрим цепь на рисунке 1.

1) Составляем ДУ по закону Кирхгофа

2) Все дифференциалы заменяем на разности.

Для k-го шага

ð

Расчетная формула:

(2)

Решим (2) учитывая нулевые начальные условия.

1) При t=0; i=0; ψ₀ = 0

2) Делаем один шаг по сетке, подставляя вместо;

Вместо

В нашем случае k-1 первый шаг.

Рассчитав ψ по рисунку 1, находим соответствующий ток.

3) Ток и потокосцепление, найденные втором шаге, подставляем в формулу (2) и получаем потокосцепление на третьем шаге, по нему и рисунку 1 находим соответствующий ток на третьем шаге и т.д. Расчет будем производить до тех пор пока шагами не приблизимся к t_пп.

Суть метода:

Если в цепи содержится элемент, роль которого в переходных процессах несущественна, им распоряжаются так, чтобы нелинейное уравнение сводились к линейному, которое рассчитывается либо классическим, либо операторным методом.

Рассмотрим включение катушки на синусоидальное напряжение.

По ВЗК:

(3)

Рассмотрим случай, когда ток несущественен. На практике это встречается при включении ненагруженных (малый ток, малое сопротивление) мощных трансформаторов. Тогда Ri можно считать линейными и расписав его через потокосцепление:

В результате уравнение (3) становится линейным относительно потокосцепления.

Решение классическим методом:

ψ=f(t) строим по графику i=f(t) и рисунку

На практике это случай включения малых катушек индуктивностей.

Данный метод, если он допустим, можно рассматривать как способ дающий грубую оценку, в основном используется в инженерных расчётах.

Суть метода: реальную нелинейную характеристику нелинейного элемента представляем ломанной прямой и на каждом плече задачу решаем как линейную (параметр н.э. – величина постоянная). Рассмотрим на примере нелинейной индуктивности (рисунок 1).

Алгоритм решения:

1. По законам Кирхгофа составляем дифференциальные уравнения, в частности по ВЗК.

(5)

2. Считаем, что Вебер-Амперная характеристика известна

3. Т.к. наша конкретная цепь работает в каком-то определенном диапазоне режимов (диапазон u и i), нужно найти рабочий участок на характеристике, соответствующий данному диапазону. Границы этого участка находятся из расчетов установившихся режимов до t=_0 и после t →∞ коммутации.

4. Заменим кривую а-в ломанной прямой.

Чем больше плечей у ломанной, тем точность расчета выше, но трудоемкость расчета при этом повышается.

Например, берем два плеча, граница между плечами – точка в. Так как точку в выбрали сами, то ее параметры считаем известными (φ­₀, I₀).

5. Рассмотрим первый участок I. Здесь индуктивность катушки L₁ величина постоянная и пропорциональная tg₁. Записываем уравнение прямой ав используя координаты точек ав и формулу для дробно-линейной функции.

При уравнение (5) запишется в виде:

Линейное ДУ первого порядка.

Можно решить либо классическим методом, либо операторным методом. Решение получится в следующем виде:

(6)

Зная φ­₀ и I₀ можем определить время окончания первого участка t₀, при этом:

6. Рассчитываем второй участок II.

Катушка имеет индуктивность L₂ = const. пропорциональную tg_2.

По аналогии записываем формулу для этого участка ав (5)→

Решаем его либо классическим, либо операторным методом, учитывая, что момент коммутации произойдет в момент времени t=t₀. Тогда выражение для тока:

Из ур-я →