,.
Функции Хаара
Полная, ортонормированная система на интервале 0 ≤ Θ < 1.
m – номер группы, i – номер функции в группе.
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Вычисление спектральных коэффициентов в базисе функций Хаара производится как
(2.15)
На рисунке 2.3 приведены первые восемь функций Хаара.
Рисунок 2.3 – Функции Хаара
В инженерных расчетах для упорядочения базисных функций желательно использовать один индекс. В этом случае приведенные выше восемь функций Хаара можно упорядочить следующим образом: Har0(Θ), Har1(θ), Har2(θ),…, Hari(θ),…, Har7(θ). Изменение порядка индексации функций требует иного их описания.
, (2.16)
где i = 1,2,… – номер базисной функции;
n c – номер старшего ненулевого разряда в двоичном представлении числа i, младший разряд имеет номер 0;
– функция Радемахера порядка n c+1;
;
- величина i по модулю , то есть остаток от деления числа i на модуль.
При таком представлении спектральные коэффициенты в базисе функций Хаара определяются следующим образом:
(2.17)
|
|
В базисных функциях Уолша и Хаара параметр θ физически соответствует относительному времени. Для конкретного участка исследуемого сигнала, расположенного на интервале времени от t 0 до t 0+ Т с, где Т с – длительность рассматриваемого участка, θ определяется следующим образом:
, (2.18)
где t x – текущее время, t 0£ t x< t 0+ T c.
Сигнал на участке относительного времени 0£θ<1 можно представить в базисе функций Хаара в виде
. (2.19)
Тема 3. Частотная форма представления сигналов. Спектр периодического сигнала. Распределение энергии в спектре периодического сигнала.
Рассмотрим представление детерминированных сигналов с помощью двух первых из перечисленных нами систем базисных функций: тригонометрической и комплексных экспоненциальных функций.
В тригонометрических функциях параметр является круговой частотой гармонического колебания, (cos или sin) с периодом Т. Комплексные Экспоненциальные функции также можно представить в соответствии с формулой Эйлера в виде совокупности тригонометрических функций
То есть и в этом случае Ω1 является круговой частотой.
Поэтому представление сигналов тригонометрическими и комплексными экспоненциальными функциями называют частотной формой представления сигналов.