Теорема Блоха

Зонная теория также основывается на решении стационарного уравнения Шредингера для электронов, движущихся в периодическом потенциале атомов (или атомных остовов) кристаллической решётки, при этом рассматриваются только электроны внешней оболочки атомов, энергия связи которых со своим атомом сравнима с энергией межатомного взаимодействия. Основные допущения данной теории сводятся к тому, что атомы рассматриваются неподвижными и регулярно расположенными в пространстве (т.е. в узлах кристаллической решётки), а взаимодействие электронов друг с другом заменяется некоторым эффективным внешнем полем, т.е. рассматривается так называемое одноэлектронное приближение.

Таким образом, приходим к следующему уравнению:

где - волновая функция электрона, - периодический потенциал, удовлетворяющий условию

где τ – произвольный вектор трансляции кристаллической решётки.

Уравнению (1) удовлетворяет так называемая функция Блоха

где - периодическая функция с периодом, определяемым вектором трансляции кристаллической решётки, т.е.

где - вектор трансляции кристаллической решётки.

Соотношение (3) называют ещё теоремой Блоха (1929). Вектор k называют квазиволновым вектором, который можно представить в виде:

(4)

где p – вектор размерности импульса, который называют квазиимпульсом. Это подразумевает то, что есть определённая аналогия между задачей о движении свободного электрона и движении электрона в периодическом поле. Эта аналогия сводится к тому, что волновая функция свободного электрона

(5)

которая является решением уравнения Шредингера

(6)

где V – объём системы, а волновой вектор и p – импульс электрона, связанный с его энергией обычным соотношением

(7)

Однако для свободного электрона , что означает равновероятное нахождение электрона в любой точке пространства, в то время как для электрона в периодическом поле , т.е. волновая функция должна удовлетворять условию

(8)

что означает, что

(9)

Таким образом, квазиволновой вектор k, фигурирующий в качестве параметра в функции Блоха (3), определяется соотношением (9), из которого следует, что k не является однозначной величиной. Действительно, если вектор k удовлетворяет уравнению (9), то , где - вектор, определяемый соотношением , = ±1, ±2, …. (так называемый вектор трансляции обратной решётки кристалла также удовлетворяет уравнению (9)).