Преобразования Лоренца

Из постулатов специальной теории относительности, а также из однородности и изотропности пространства и однородности времени следует, что соотношения между координатами и временем одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета выражаются преобразованиями Лоренца, а не преобразованиями Галилея (1.1), как это считается в ньютоновской механике.

Преобразования Лоренца имеют простейший вид в том случае, когда сходственные оси декартовых координат неподвижной (К) и движущейся (К') инерциальных систем попарно параллельны, причем система К' движется относительно К с постоянной скоростью V вдоль оси ОХ (см. рис. 2). Если, кроме того, в качестве начала отсчета времени в обеих системах (t=0 и t '=0) выбран тот момент, когда начала координат О а О' обеих систем совпадают, то преобразования Лоренца имеют следующий вид:

y' = y, y = y', z' = z, z = z' (1.5)

где с — скорость света в вакууме.

2. Формулы (1.5) можно получить, например, следующим образом. Пусть в начальный момент времени t=0 из точки О неподвижной системы отсчета К (рис. 3) испускается весьма короткий световой сигнал, распространяющийся в вакууме. В системе отсчета К координаты точек, до которых дойдет сигнал к моменту времени t, удовлетворяют условию

x²+y² + z² = c²t². (1.6)

В момент t = 0 начало О' подвижной системы отсчета К' совпадает с точкой О. Часы в системе К' целесообразно установить так, чтобы в этот момент времени t' = 0. Из постулатов теории относительности следует, что в системе отсчета К' закон распространения того же короткого светового сигнала имеет вид, аналогичный (1.6), т. е. моменту времени t' сигнал достигнет точек, координаты которых в системе отсчета К' удовлетворяют условию

(x')² + (y')² + (z')² = c²(t')² (1.6')

Таким образом, согласно постулатам специальной теории относительности, координаты и время в системах отсчета К и К^г должны удовлетворять соотношению

(x')² + (y')² + (z')² — c²(t^r)² = x²+y² + z² — c²t² (1.7)

Преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системе отсчета к другой должны быть линейными, так как только такие соотношения не противоречат полному равноправию любых двух, инерциальных систем отсчета, каждой из которых с равным правом можно принять за неподвижную.

Оси О'Y' и O'Z', а также попарно параллельные им оси OY и OZ лежат в плоско-перпендикулярных вектору V скорости движения подвижной системы К', т. е. ориентированы по отношению к V совершенно одинаково. Поэтому связь между координатами у' и у должна быть такой же, как между z' и z. Иными словами, искомые преобразования имеют следующий вид:

x' = α₁x + β₁t, y' = α₂y + β₂t,

(1.8)

z' = α₂z + β₂t, t' = α₃x + β₃t

где α₁, α₂, α₃, β₁, β₂, β₃, — постоянные коэффициенты, значения которых нужно найти Координаты точки О' в системах отсчета К' и К равны:

x'₀=y'₀ = z'₀ = 0, x₀=Vt, y₀ = z₀ = 0.

Подставив эти значения в (1.8), получим

α₁ Vt + β₁t = 0; β₂t = 0,

т.е.

β₁ = - α₁ V, β₂ = 0

Аналогично, координаты точки О в системах К и K' равны:

x₀=y₀ = z₀ = 0, x'₀= - Vt', 'y₀ = z'₀ = 0.

Подставив эти значения в (7.8), получим — Vt' I = β₁t и t' = β₃t, т. е.

β ₃ = - β ₁ /V = α₁ (1.9 ')

Таким образом, искомые преобразования (7.8) можно представить в более простом виде:

x' = α₁ (x-Vt), у'= α₂ y,

z' = α₂ z, t' = α₃ x + α₁ t (1.10)

Преобразования (1.10) должны обеспечивать тождественное выполнение соотношения (1.7):

α₁² (x-Vt)² + α₂²y²+ α₂²z²-c²(α₃x+ α₁t)² ≡ x²+y²+z²-c²t²

Для этого должны быть попарно равны слева и справа коэффициенты при х², у², z², t² и хt.

α₁ ² -c ² α₃ ²=l, α₂² = 1, α₁² (c²-V²) = _C²,

Vα₁ ² + c²α₁α₃ = 0 (1.11)

Таким образом, искомые коэффициенты равны:

, α₂ = 1,

Подставив эти выражения в (1.10), получим формулы (1.5) преобразований Лоренца.

Мы отбросили второе значение α₁, удовлетворяющее соотношениям (1.11) и равное

α₁ = — l /√ l — V²/с², так как при α₁ <0 возрастанию времени t в системе отсчета К соответствует убывание времени t' в системе отсчета К'. Второе значение α ₂ = — 1 мы также отбрасываем, так какпри этом у'= - у и z = - z, т. е. орты сходственных осей координат O'Y' и ОY, О' Z' и OZ направлены во взаимно противоположные стороны.

3. Преобразования Лоренца показывают, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой, изменяются не только пространственные координаты рассматриваемых событий, но и соответствующие им моменты времени. Однако между пространственными координатами х', у' и z' события и временем t' ' его совершения в произвольной инерциальной системе отсчета К' существует определенная взаимосвязь. Согласно (7.7) величина (x')² + (y')² + (z')¹—(ct')² не зависит от скорости V движения системы К', т. е. одинакова во всех инерциальных системах отсчета — инвариантна по отношению к преобразованиям Лоренца:

(x')² + (y')² + (z')² - (ct')² = inv.

Координата х' и время t' не могут быть мнимыми. Поэтому из преобразований Лоренца следует, что скорость относительного движения любых двух инерциальных систем отсчета V<c.

Преобразования Лоренца (1.5) переходят в преобразования Галилея (1.2) при V«c или, точнее, в пределе при (V/c)→0, т. е. при с→ ∞. Иными словами, преобразования Галилея и основанная на них классическая (ньютоновская) механика построены на предположении о мгновенном распространении взаимодействий. Такой приближенный подход допустим лишь при рассмотрении закономерностей механического движения тел со скоростями, во много раз меньшими скорости света в вакууме.

4. Из преобразований Лоренца видно, что в теории относительности можно говорить об определенном «моменте времени» лишь применительно к одной и той же инерциальной системе отсчета, а также ко всем другим инерциальным системам отсчета, неподвижным относительно первой. Между тем одному «моменту времени» в системе отсчета К (одному определенному значению времени t в этой системе во всех точках пространства) соответствует множество различных значений времени t' в движущейся системе отсчета К' в зависимости от значений координаты х различных точек пространства:

Наоборот, одному «моменту времени» в системе К' соответствует множество значений времени t в системе отсчета К в зависимости от значений координаты х¹:

Из сказанного ясно, что промежуток времени между какими-либо двумя определенными событиями относителен: он изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, движущейся относительно первой.

В частности, относительна одновременность двух событий, происходящих в разных' точках пространства: события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, вовсе не всегда одновременны в других инерциальных системах отсчета, движущихся относительно первой. Так, в примере, изображенном на рис. 3, достижение светом вспышки точек А (событие 1) и В (событие 2) — события, одновременные в неподвижной системе отсчета К (t₂ = t₁), но совершающиеся в разных точках (х_B= —х_а). В движущейся системе отсчета К' эти два события не одновременны:

В точку А, удаляющуюся от источника световой вспышки — точки О', свет попадет позже, чем в точку В, приближающуюся к О'.

5. События, связанные причинно-следственной связью, не могут совершаться одновременно ни в одной системе отсчета, так как всякое следствие обусловлено каким-то процессом, вызываемым причиной. Между тем любой процесс (физический, химический, биологический) не может протекать мгновенно. Поэтому относительность промежутка времени между двумя событиями ни в какой мере не противоречит принципу причинности. В любой инерциальной системе отсчета событие-следствие совершается позже, чем событие, являющееся его причиной.

6. Специальную теорию относительности часто называют релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией,— релятивистскими эффектами. Как правило, релятивистские эффекты проявляются при скоростях движения тел, близких к скорости света в вакууме (с=3*10⁸ м/с) и называемых релятивистскими скоростями. Релятивистской механикой называется механика движений с релятивистскими скоростями, основанная на специальной теории относительности.