Моделирование рядов распределения

Все рассмотренные нами показатели характеризуют отдельные свойства совокупности. Общую характеристику ряда распределения можно представить аналитически, в виде функции, характеризующей зависимость между изменениями варьирующего признака и частотами. Каждому ряду свойственна определенная закономерность, выражением которой является кривая распределения, представляющая собой функцию распределения. Если имеется эмпирический ряд распределения, то необходимо найти функцию рас­пределения, т.е. подобрать такую теоретическую кривую распреде­ления, которая наиболее полно отражала бы закономерность рас­пределения. Нахождение функции кривой, распределения назы­вается моделированием. Моделирование имеет большое познава­тельное значение, функции кривой распределения дают в компакт­ной форме характеристику изучаемой совокупности, ее закономер­ности, сглаживают различные «неправильности» эмпирического ряда, возникшие вследствие случайных обстоятельств, дают воз­можность находить частоты интервалов, которые не встречались в эмпирическом распределении. Уравнения кривых распределения позволяют при помощи двух-трех, а иногда и одной сводной харак­теристики получить представление о характере распределения, они весьма важны для прогнозирования будущих распределений.

Для аппроксимации (выравнивания) эмпирических кривых распределения и сопоставления их с теоретическими в статистике частью пользуются нормальным распределением, функции которого

где F_(x) — интегральная функция распределения;

- нормированное отклонение;

е — основание натуральных логарифмов;

dt — разность между смежными значениями F_(x), т.е. величи­на интервала. В этом уравнении F_(x) рассматривается как функция переменной t: каждому значению t соответствует определенное зна­чение F_(x). Таким образом, кривую нормального распределения можно построить по двум параметрам и а. Исчислив по ним нормированное отклонение t, можно по специальной таблице полу­чить готовые значения F_(x) при условии, что t > 0. Например, если х = 115, = 100, а σ = 12, то . По таблице данному значению t соответствует F (+1,25) = 0,894. Так как кривая нормального распределения симметрична, то F_(-t) = 1 - F_(t) и F (-1,25) = 1 - - 0,894 = 0,106. Следовательно вероятность того, что признак примет значение в интервале от х_i - до х_i+1, равна F_(xi+1) - F_(xi).

Важное значение в анализе имеет проверка того, насколько фактическое распределение признака соответствует теоретическому, например нормальному распределению. Задача состоит в том, чтобы по фактическим данным вычислить теоретические частоты кривой распределения и сравнить их с эмпирическим рядом. Теоре­тические частоты f¹ для нормального распределения рассчитыва­ются по формуле

где п = п=∑f — объем совокупности;

F_(x) — функция нормального распределения.

Пример. В табл. 8.5 показано распределение ткачих по степени выполнения норм выработки. На этом примере покажем расчет тео­ретических частот.

Таблица 8.5