К л а с с и ч е с к и й р а с ч е т

Столкновение молекул газа с поверхностью

Идеальный газ

Основное уравнение МКТ идеального газа

Если размеры сосуда, в котором находится газ, меньше средней длины свободного пробега, то столкновения молекул между собой происходят редко. Главным образом молекулы будут сталкиваться со стенками сосуда. В этих обстоятельствах можно считать, что молекулы представляют собой невзаимодействующие частицы. Такую абстрактную модель газа, в определенных обстоятельствах близкую к реальности, называют идеальным газом. Понятно, что применимость данной модели для описания физической ситуации должна зависеть от размеров сосуда, занимаемого газом.

Рассмотрим пример: в лабораторной колбе содержится азот. Оценим объемную концентрацию азота, при которой к нему применима модель идеального газа.

При комнатной температуре и атмосферном давлении концентрация азота в воздухе составляет n0=2×1019см-3. При этой концентрации средняя длина свободного пробега составляет
(1)
где s - сечение рассеяния молекул азота. При оценке средней длины свободного пробега использованы данные одной из задач практического занятия. Чтобы для азота была пригодной модель идеального газа, средняя длина свободного пробега должна быть порядка размера колбы L. При этом
(2)
Полагая, что L~10 см, из (2) получаем оценку n~10-6n0.

Возможны ситуации, формально не удовлетворяющие условию применимости модели идеального газа, но в которых, тем не менее, применение модели дает хорошее согласие предсказываемых характеристик состояния с опытными данными. В этих случаях можно утверждать, что столкновения молекул между собой не влияют на значения характеристик.

Пусть в сосуде, имеющем форму прямоугольного ящика объемом V, в состоянии теплового равновесия находится газ из N молекул. При соударениях молекул со стенками сосуда они передают импульс. В результате толчков возникает быстро флуктуирующие силы давления газа на стенки. При атмосферном давлении и комнатных температурах частота соударений о макроскопическую стенку имеет порядок, значительно превышающий 1013с^-1 Макроскопическими приборами и органами чувств флуктуации усредняются, и воспринимается только среднее давление. Рассчитаем среднее давление газа.

Решим вначале предварительную задачу. Имеется разреженный широкий пучок молекул массы m. В единице объема содержится n молекул. Все молекулы имеют одну и ту же скорость. В пучок поместили пластинку площади S. Определим силу давления пучка F на пластинку произвольной ориентации. Разобьем задачу на этапы:
а) определим число молекул, ударяющихся о пластинку за время Dt;
б) определим силу давления пучка на перпендикулярно ориентированную пластинку при упругом отражении;
в) определим число молекул ударяющихся о повернутую на угол j пластинку за время Dt;
г) рассчитаем силу давления пучка на повернутую пластинку.

а) Молекулы, ударяющиеся о пластинку за время Dt находятся в цилиндре с основанием S и высотой v Dt. Объем этого цилиндра D v = Sv Dt. Искомое число молекул DN равно
DN=nDV=nS v Dt. (3)

Рис. 13

б) Изменение импульса молекулы при соударении равно 2m v. Имея это в виду, определим среднюю силу давления газа на пластинку
(4)

в) Молекулы, ударяющиеся о пластинку под углом j за время Dt, находятся в цилиндре с основание S и высотой v Dt×cosj. Объем этого цилиндра DV=S v Dt×cosj =S v xDt. Здесь v x - проекция скорости молекулы на ось OX, которая перпендикулярна плоскости пластинки, v Dt×cosj= v xDt - высота цилиндра. Искомое число молекул DN равно
N=nDV=nS v xDt. (5)
Существенно, что число ударяющихся о пластинку молекул пропорционально перпендикулярной к пластинке составляющей скорости.

г) Изменение импульса молекулы при соударении с пластинкой равно 2m v x. Средняя сила давления газа:
(6)
Формула (4) является частным случаем (j=0) формулы (6).