Теория скин-эффекта

1 2

Найдем распределение тока в проводнике. Воспользуемся уравнениями Максвелла:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Запишем также уравнение закона Ома

(22)

где постоянная - удельная проводимость проводника. Плотность тока в уравнениях Максвелла может быть выражена с помощью этого уравнения через напряженность поля.

Совместное решение уравнений (19) и (17) позволит получить новое уравнение, содержащее только ; оно даст нам сведения об интересующей нас величине. Перепишем уравнение (19), исключив вектор плотности тока с помощью закона Ома:

(23)

Возьмём теперь дивергенцию обеих частей уравнения (23) и учтём, что дивергенция ротора тождественно равна нулю, получим:

Дивергенция , согласно первому уравнению Максвелла, равна плотности заряда . Поэтому получим:

(24)

Решение уравнения (24)

(25)

показывает, что плотность всякого заряда, который может появиться в проводнике, подчиняющемся закону Ома, должна уменьшаться экспоненциально, для хороших проводников — с очень большой скоростью. Любой заряд, помещённый внутри проводника, сразу же вышел бы на его поверхность; в соответствии с этим в уравнении Максвелла для стационарных состояний член, содержащий плотность заряда в проводнике, будет равен нулю, если только не придумаем средства непрерывно возобновлять внутри проводника свободные заряды. Таким образом, в проводниках

(26)

Если все величины пропорциональны , уравнение (21) запишется в виде:

(27)

Токи смещения в любом относительно хорошем проводнике малы даже при наиболее высоких радиочастотах. Взяв синусоидальное колебание , сравним два члена уравнения (27) — и .

Рассмотрим случай когда .

При радиочастотах, для всех проводников, кроме очень плохих, таких, например, как земля, токи смещения пренебрежимо малы по сравнению с токами проводимости. Остаётся

(28)

Возьмём ротор от обеих частей и развернём выражение для левой части:

(29)

Подставив величины и из уравнений Максвелла (18) и (20), получим:

(30)

Подобное уравнение может быть получено так же и для , если вместо (19) взять ротор обеих частей уравнения (20) и развернуть его, как было сделано выше:

(31)

Так как , то же уравнение может быть написано и для плотности тока

(32)

Если все величины изменяются синусоидально со временем, как ,уравнение (32) запишется в виде

При очень высоких частотах подавляющая часть тока сосредоточена в тонком слое у поверхности проводника. Но в таком случае кривизна самой поверхности несущественна, и становится возможным достаточно точно подсчитать распределение плотности тока, рассматривая малый элемент поверхности и пренебрегая его кривизной, т.е. принимая его за плоский проводник бесконечной толщины.

Примем для проводящего полупространства направление тока за ось z, а нормаль к поверхности за ось х и будем считать, что распределение остаётся неизменным вдоль осей y и z. Уравнение распределения плотности тока в этом случае будет:

(34)

где или .

(33)

Полное решение этого уравнения имеет вид:

(35)

Постоянная должна равняться нулю, иначе при ток будет бесконечно велик, что невозможно. можно определить из граничного условия при . Получаем:

(36)

Введём новый параметр, который назовём глубиной проникновения:

(37)

Если воспользоваться этим параметром, равенство перепишется в виде:

(38)

Из этой формулы следует, что величина плотности тока уменьшается экспоненциально с увеличением глубины, а представляет значение глубины, на которой плотность тока падает до величины , т.е. примерно до 36,9% своего значения на поверхности. Фаза тока также меняется с увеличением глубины соответственно множителю .