Понятие оптимальной линейной фильтрации. Частотные характеристики оптимального линейного фильтра

Пусть на линейный фильтр с комплексным коэффициентом передачи Н (ω) воздействует аддитивная смесь (сумма) сигнала s_вх(t) и шума Х_вх(t). Если такую аддитивную смесь подать на линейный фильтр, то на выходе:

Действует принцип суперпозиции.

Пусть s_вх(t) полностью известный сигнал

Шум Х_вх(t) – стационарный гауссовский СС в виде белого шума.

Введем понятие отношения сигнал-шум по напряжению на выходной цепи в момент времени t=t₀.

(1)

Числитель – пиковое значение сигнала.

Линейный фильтр называется оптимальным, если при воздействии на него аддитивной смеси полностью известного сигнала и стационарного гауссовского белого шума, получается наибольшее отношение сигнал-шум в момент времени t₀ (из всех возможных вариантов фильтров)

Это означает, что правилом оптимальности фильтров является критерий наибольшего отношения сигнал-шум.

Определим какими частотными характеристиками должен обладать линейный фильтр, чтобы его можно было бы назвать оптимальным в названном смысле.

Запишем

(2)

Воспользуемся для решения задачи оптимизации известным из математики неравенством Шварца-Буняковского

(3)

(4)

Какими должны быть характеристики оптимального фильтр Н(ω), φ_н(ω), чтобы неравенство превратилось в равенство?

Сравним (2) и (4):

(5) – ФЧХ оптимального фильтра.

(6) – АЧХ оптимального фильтра.

а – коэффициент пропорциональности.

Комплексный коэффициент передачи

(7)

Подставим (5), (6), (7) в правую часть (4) и найдем отношение сигнал-шум на выходе оптимального фильтра:

(8)

Отношение сигнал-шум на выходе оптимального фильтра зависит от энергии входного сигнала и спектральной плотности белого шума, то есть не зависит от формы сигнал. Объясняется это тем, что характеристики оптимального фильтра зависят от сигнала (согласованы с соответствующими характеристиками сигнала).

Благодаря последнему утверждению оптимальный линейный фильтр называют согласованным линейным фильтром.

Объясним почему полученные характеристики (5) и (6) обеспечивают наибольшее отношение сигнал-шум на выходе фильтра в заданный момент времени t₀.

Начнем с выражения (5):

Согласно этому выражению в оптимальном фильтре происходит, во-первых, сдвиг всех гармонических составляющих сигнала s_вх(t) на время t₀ (-ω t₀). Во-вторых, в оптимальном фильтре происходит компенсация начальных фаз всех гармонических составляющих, в результате сдвига во времени и компенсации начальных фаз в момент времени t=t₀ все гармонические составляющие сигнала складываются своими амплитудными значениями, то есть образуется пик-сигнал.

Рассмотрим выражение (6):

Из выражения (6) следует, что спектральные составляющие белого шума пропускаются оптимальным фильтром не равномерно, а с тем большим ослаблением, чем меньше значения спектральной характеристики сигнала на этой частоте. Это приводит к существенному ослаблению шума при прохождении оптимального фильтра.

Но такой вид АЧХ с другой стороны противоречит условию неискаженного прохождения сигнала через линейную цепь (АЧХ должна быть равномерной). В нашей задаче не ставится условие отсутствия искажения сигнала, так как форма сигнала заранее известна, а ставится условие получения максимального отношения сигнал-шум. Именно ценой искажения сигнала в оптимальном фильтре мы добиваемся максимального отношения сигнал-шум.

Одновременное выполнение условий (5) и (6) обеспечивает получение максимального отношения сигнал-шум.