Расчет мгновенных значений параметров режима методом

числен­ного интегрирования системы дифференциальных уравнений.

Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Как из­вестно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелиней­ных) может быть решена методом чис­ленного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегриро­вания дифференциальных уравнений.

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета схемы рис. 46. Пусть на входе схемы источник синусоидальной ЭДС e (t) = E_m ·sin(wt), а вебер-амперная характери­стика нелинейной катушки аппроксимирована уравнением i = a · sh (b · y).

Система дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненная нелинейным алгебраи­ческим урав­нением аппроксимации ха­рактеристики нелинейного элемента будет иметь вид:

Решение этой системы уравнений может быть выполнено методами чис­ленного интег­рирования на ЭВМ (например, методом Эйлера). Суть метода со­стоит в том, что период пе­ременного тока Т разбивается на большое число ша­гов интегрирования, например N= 1000, дифференциалы переменных заме­ня­ются конечными приращениями (dy Þ Dy, du ÞD u, di ÞD i, dt ÞD t), апроиз­вод­ные переменных - отношением приращений (dy/dt ÞD y/Dt, du/dt ÞD u/ D t). На каждом шаге производится решение системы уравнений и определяются значе­ния переменных величин (токов, напряжений) и их производных, причем в ка­честве ис­ходных данных принимают значения некоторых переменных на пре­дыдущем шаге. В каче­стве таких функций принимают u_С (t), i_L (t),которые опре­деляют запасы энергии в электриче­ском и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачкообразно. Непосред­ственным результатом расчета будут являться массивы значений переменных величин (токов, напря­жений) и их производных в заданном интервале времени (например, в течение периода Т). В результате последующей обработки массивов данных могут быть опреде­лены дейст­вующие, средние, максимальные значения переменных, их гармони­ческий состав и другие параметры функций.

Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью, так как в нем непосредственно используются физические характе­ристики нелинейных эле­ментов. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей как в установившемся, так и в переходном режиме.

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом численного ин­тегрирования представлен ниже.

Исходные данные: параметры элементов схемы (E_m, f, R, C, a, b);на­чальные условия u_С (0) = 0, y (0) = 0.

Принимаем: N -число шагов интегрирования за период тока, Т = 1/ f - пе­риод тока, w=2pf - угловая частота, h= D t=T/N - шаг интегрирования.

Алгоритм решения системы для произвольного к -го шага:

t_к = h · к;

из (5) i_к = a · sh (b · y_{(к- 1 )} );

из (2) u_{R к} = i_к · R;

из (1) u_Lк = E_m ·sin(wt_к)- u_Rк - u_Rок - u_{С (к-1)};

из (3)(dy/dt) _к = u_Lк;

из (4)(du_С/dt) _к = i_к / C;

y_к= y_{(к- 1 )} + h · (dy/dt) _к;

u_Ск = u_{С(к- 1 )} + h · (du_С/dt) _к.

Вычисление определенных интегралов для определения действующих и средних значений переменных (здесь и далее на примере тока i):

S_{i 1} =S_{i 1} + i_к · i_к · h

S_{i 2} =S_{i 2} + i_к · h

Вычисление определенных интегралов для определения гармонических спектров пе­ременных:

для 1-й гармоники: S_{i 3} =S_{i 3} + i_к ·sin(1 · wt_к ) · h

S_{i 4} =S_{i 4} + i_к ·cos(1· w t_к ) · h

для 2-й гармоники: S_{i 5} =S_{i 5} + i_к ·sin(2· wt_к ) · h

S_{i 6} =S_{i 6} + i_к ·cos(2· wt_к ) · h, и т.д.

Определение максимальных значений переменных:

если i_к > I_m то I_m = i_к.

Конец к -го цикла интегрирования.

После завершения процесса интегрирования производится вычисление интегральных параметров переменных.

Действующие значения: , и т. д.

Cредние значения: , и т. д.

Амплитуды синусных и косинусных составляющих гармоник:

; ; ; , и т.д.

Амплитуды и начальные фазы гармоник:

; ;; , и т.д.

Действующие значения высших гармоник:

, и т.д.

Коэффициенты амплитуды: К _а =I_max / I, и т.д.

Коэффициенты отдельных гар­мо­ник: К _г2 = I _{2 m} / I _{1 m}, К _г3 = I _{3 m} / I _{1 m}, и т.д.

Коэффициенты искажения: К _и = I _вг /I, и т.д.

Коэффициенты формы: К _ф = I / I _ср, и т.д.

Т4. Переходные процессы в нелинейных цепях