Уравнение Шредингера

Вследствие фундаментальной особенности явлений мик­ромира, в квантовой механике можно говорить лишь о вероятности того или иного значения динамической переменной и о среднем значении динамической переменной, а не об ее опреде­ленном числовом значении в данный момент времени. По­этому классическое описание движения частиц в квантовой механике теряет смысл. Весь анализ явлений микромира проводится на языке понятий классической физики, таких, как волна и частица постольку, поскольку мы не обладаем иными понятиями. Ирония здесь состоит в том, что эти клас­сические понятия отражают свойства объектов микромира неполно и односторонне. В квантовой механике вектором состояния является волновая функция Ψ. Великий австрийс­кий физик Эрвин Шрёдингер, проникшись идеей де Бройля о волнах материи, создал теорию, в которой дискретные стационарные состояния энергии уподоблялись стоячим волнам какой-либо системы. В аппарат квантовой теории прочно вош­ло в качестве ее основного уравнения – уравнение Шрёдингера относительно волновой функции Ψ. Сам Шрёдингер ин­терпретировал Ψ-функцию как реальный волновой процесс в пространстве и во времени, который, в конечном счете, должен приводить к отрицанию дискретных состояний и кван­товых скачков. Однако дальнейшее развитие теории показа­ло неадекватность подобных представлений, и волновая фун­кция Ψ стала интерпретироваться как волна вероятности, а квадрат ее модуля — как мера вероятности обладания микро­объектом определенной координаты или в другой, дополнительной к первой, физической ситуации — определенного им­пульса. Итак, волновая функция получила статус волны ве­роятности, чем еще раз подчеркивается статистический, ве­роятностный характер поведения микрообъектов. Казалось бы, что о причинно-следственном описании движения объек­тов следует забыть. Однако это не так. Уравнение Шрёдингера описывает эволюции Ψ-функции с течением времени, яв­ляется детерминированным и обратимым. Волновая функция представляет собой, полную характеристи­ку состояния: зная волновую функцию Ψ, можно вычислить вероятность обнаружения определенного значения физической величины и средние значения физических величин.

4. Принцип суперпозиции. Суть принципа заключается в следующем. Пусть некоторая квантово-механическая система может находиться в двух состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ₁ и Ψ₂. Тогда она может находиться и в любом состоянии, которое описывается линейной комбинацией или линейной суперпозицией этих двух функций:

Ψ=с₁ Ψ₁+с₂ Ψ₂

Где с₁ и с₂ – произвольные числа.

Суперпозиция состояний содержит альтернативные состояния одной и той же частицы. Коэффициенты с₁ и с₂ указывают на вероятности, с которыми может быть обнаружена частица в том или ином состоянии в каждом отдельном эксперименте.

5. Принцип тождественности. Различия между классической и квантовой механикой выявились при рассмотрении системы многих частиц. Классический подход к столкновению двух одинаковых частиц позволяет различить их движение после удара. Ведь каждая частица имеет свою собственную траекторию, даже если они оказались симметричны. В квантовой механике траекторий нет, в процессе столкновения области локализации частиц перекрываются, различить их после взаимодействия невозможно даже в принципе. Следовательно, одинаковые частицы неразличимы.

Принцип тождественности легко формулируется математически и имеет серьезные последствия. Запишем волновую функцию Ψ системы из двух одинаковых частиц, она будет зависеть от координат и спинов каждой частицы, которые мы условно обозначим числами 1 и 2. Здесь 1 означает совокупность всех координат и спин первой частицы, а 2 – второй. Квадрат модуля волновой функции означает вероятность нахождения частицы в данном месте, тождественность частиц требует, чтобы эта вероятность не изменялась, если частицы поменялись местами, т.е.:

|Ψ(1,2)|²= |Ψ(2,1)|²

Из этой формулы вытекают две возможности:

Ψ(1,2)= Ψ(2,1),

Ψ(1,2)= -Ψ(2,1).

Функция, не изменяющая своего знака при перемене частиц местами, называется симметричной, а функция, изменяющая знак на противоположный – антисимметричной.

Все частицы с симметричными волновыми функциями называются бозонами, они обладают целым спином (фотоны, некоторые мезоны). Частицы с антисимметричными волновыми функциями называются фермионами, они обладают полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны).

Принцип Паули: две тождественные частицы с полуцелым спином не могут одновременно находиться в одном квантовом состоянии.

Принцип Паули имеет решающее значение для понимания сущности периодического закона Д.И.Менделеева. В сложном атоме в каждом состоянии может находиться только один электрон, в состоянии с минимальной энергией – только два электрона с противоположными спинами. Третий электрон вынужден занимать состояние с более высокой энергией. Четвертый электрон может обладать такой же энергией, как и третий, но должен отличаться от него хотя бы одним квантовым числом из четырех, и т.д. Порядок заполнения электронных оболочек в сложном атоме определяет его электронные конфигурации, т.е. распределение электронов по оболочкам. Именно верхние оболочки определяют химические свойства элемента, периодичность в свойствах имеет в своей основе сходство внешних электронных оболочек. Электроны внешних оболочек легко подвергаются воздействиям. Их взаимодействие определяет химические связи между атомами, объединенными в молекулы.