Метод ортогональной матрицы использует особенности собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы.
Пусть дана квадратичная форма , Поскольку – симметрическая матрица, для нее существует диагонализирующая ортогональная матрица , такая что
где – собственные значения матрицы .
Применим к квадратичной форме линейное преобразование ,
где – матрица-столбец новых переменных ;
– матрица, обратная к .
Таким образом, квадратичную форму всегда можно представить в каноническом виде с коэффициентами, равными собственным значениям матрицы квадратичной формы.
Канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно. В то же время можно доказать, что все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма содержат одинаковое число отрицательных, положительных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных.
Наиболее удобным для исследования является канонический вид, в котором коэффициенты при новых переменных равны +1 или –1, т.е. квадратичная форма имеет вид . Такую запись называют нормальным видом квадратичной формы. В нем общее число квадратов равно рангу квадратичной формы.
|
|
Квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями. При этом справедлива следующая теорема.