Без доказательства. Пусть есть направление s ( ||s||=1-норма вектора)

Без доказательства

Пусть есть направление s (||s||=1-норма вектора):

¶f (x)/ ¶s = lim = f ¢_s(x)= (f ¢(x), s)-производная по направлению

e ® 0, e > 0

5. Теорема:

Для дифференцируемой функции f (x) на выпуклом множестве X выпуклость

эквивалентна неравенству:

f (x +y) ³ f (x) + (Ñf(x),y)

Строгая выпуклость эквивалентна неравенству:

f (x +y) > f (x) + (Ñf(x),y)

Сильная выпуклость эквивалентна неравенству:

f (x +y) ³ f (x) + (Ñf(x),y) + l _*||y||²/2, где l=const

6. Для сильно выпуклых функций справедливы соотношения:

1. f (x) ³ f (x^*) + l _*|| x - x^*||²/2

2. (Ñf(x), x-x^*) ³ l _*|| x - x^*||²

3. ||Ñf(x)|| ³ l _* || x - x^* ||