Бесконечно малые последовательности
Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если
Пример.
1) если
Доказательство:
Пусть – фиксирована, т.к.
- бесконечно-малая последовательность (1)
Аналогично,
(2)
Пусть , следовательно, выполняется (1) и (2)
2) Если , следовательно
Следствие. ∑ любого числа бесконечно-малых последовательностей есть бесконечно-малая последовательность.
3) Произведение ограниченной последовательности на бесконечно-малую равняется бесконечно-малой. последовательности.
Пусть - ограниченная последовательность
4) Произведение бесконечно-малой последовательности на бесконечно-малую равняется бесконечно-малой последовательности.
Ещё одно определение сходящейся последовательности:
Последовательность называется сходящейся, если , что в -окрестности точки находятся все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера (который, конечно, зависит от ), т.е.
Отсюда элемент бесконечно малой последовательности. Тогда любой элемент сходящейся последовательности, имеющей предел, может быть представлен в специальном виде
|
|