2014-02-09
521
В силу исторических и практических причин наиболее важным для интерполяции классом базисных функций является множество многочленов. У многочленов есть очевидные преимущества перед другими функциями: их легко вычислять, их легко складывать, умножать, интегрировать и дифференцировать.
Любую непрерывную функцию 
можно приблизить на отрезке некоторым многочленом 
. Это следует из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса: если произвольная непрерывная на сегменте 
функция, то для любого 
найдется такой многочлен степени 
, что
.
Хотя некоторые доказательства теоремы Вейерштрасса являются конструктивными (в процессе доказательства строится нужный многочлен), обычно в результате получается многочлен такой высокой степени, что использовать его на практике невозможно. Более того, теорема Вейерштрасса ничего не говорит о существовании удовлетворительного интерполирующего многочлена для заданного набора данных. И хотя важно знать, что некоторый полином приближает с предписанной точностью на всем отрезке , нет никакой гарантии, что этот многочлен удастся найти с помощью практического алгоритма.
|
|
|
Выберем в качестве базисных функций неотрицательные целые степени переменной 
:
.
Система (110) будет иметь вид:
,
где
(125)
- интерполяционный многочлен степени 
,
или
. (130)
Все 
различны, решение системы (130) существует и единственно, следовательно существует единственный интерполяционный многочлен вида (125).
Поскольку все множество данных: набор узлов интерполяции 
и значений функции 
, в этих узлах, включается в одну полиномиальную интерполирующую функцию 
, то называется глобальным интерполянтом этих данных.
