Определение управляющих сил по параметрам движения при пуске и останове

Для того, чтобы выполнить условия начала движения и остановки выходного звена в конечном положении необходимо соответствующим образом выбрать закон изменения движущих или управляющих сил. Три возможных диаграммы изменения движущих сил даны на рис. 7.5. Определение величин сил на этих диаграммах осуществляется из рассмотренных выше условий. Выведем формулы для расчета сил, используя в качестве примера механизм гидравлического подъемника, схема которого приведена на рис. 7.6.

Типовые диаграммы движущей силы.

< TR>

Рис. 7.5

Гидроподъемник поворачивает платформу - звено 1 на заданный угол D j ₁, при этом центр масс S₁ поднимается на высоту H_S1 под воздействием силы давления в гидроцилиндре F_д, закон изменения которой за цикл определяется одной из диаграмм, изображенных на рис. 7.5.

< TR>

1. Определение величины силы F_д0 по условию начала движения e ₁₀> 0

k * abs (М^пр_{с 0}) = М^пр_{д 0},

где k = 1.05... 2 - коэффициент запаса по моменту для разгона системы.

Раскрывая это уравнение, получим

< TR>

откуда

< TR>

2. Определение величины силы F_{д n} по условию в конце цикла e _1n= 0

abs (М^пр_{с n}) = М^пр_{д n}.

Раскрывая это уравнение, получим

< TR>

откуда

< TR>

3. Определение величины силы F_д ^* по условию в конце цикла w _1n= 0,

Аå _n = 0, А_{д n}= abs (А _cn);

· для диаграммы движущей силы, изображенной на рис. 7.5 а

F_{д 0}* a * H_D + F_д ^** (b - a)* H_D+ F_{д n}* (1 - b) * H_D= G₁* H_S1,

F_д ^*= G₁* H_S1- [ F_{д 0}* a + F_{д n}* (1 - b)] * H_D / [(b - a)* H_D].

для диаграммы движущей силы, изображенной на рис. 7.5 б

F_{д 0}* a * H_D + 0.5* (F_{д 0}+ F_д ^*) * (b - a)* H_D+ 0.5* (F_д ^*+ F_{д n})* (1 - b) * H_D=

= G₁* H_S1,

F_д ^*= G₁* H_S1- [F_{д 0}* a + 0.5* F_{д 0}* (b - a)+ 0.5* F_{д n}* (1 - b) ] /

/ { 0.5* [(b - a) + (1 - b)]* H_D}.

Прямая задача динамики машины: определение закона движения при неустановившемся (переходном) режиме.

В отличие от установившегося режима движения режимы разгона и торможения называются неустановившимися. К этому режиму относят и режим движения "пуск-останов". Прямая задача динамики: определение закона движения машины при заданных внешних силовых воздействиях (как сил и моментов сопротивления, так и движущих или управляющих сил). Эта задача относится к задачам анализа, при которых параметры механизмов заданы, либо могут быть определены на предварительных этапах расчета. Для простоты и наглядности рассмотрим алгоритм решения этой задачи на примере конкретного механизма гидроподъемника. По условиям функционирования гидроподъемник за цикл движения должен переместить платформу 1 (рис. 7.6) на угол D j ₁ и зафиксировать ее в конечном положении. При этом силы сопротивления определяются силами веса платформы и звеньев гидроцилиндра, движущие силы - давлением жидкости в цилиндре.

Алгоритм решения прямой задачи динамики при неустановившемся режиме.

Постановка задачи.

Дано: Кинематическая схема механизма и его размеры

l_AB= 1 м, l_BS1= 2 м, l_BD= 0.7м, l_AC= 1.45м,

l_BS2= 0.35м, l_BS3= 0.4 м;

массы и моменты инерции звеньев m₁ = 1000 кг,

I_S1= 800 кг * м ², m₂ = 50 кг, I_S2= 2 кг * м ², m₃ = 100 кг,

I_S3= 5 кг * м ²; w ₁_нач = 0, D j ₁ = 30°, j ₁_нач = 0.

____________________________________________

Определить: w ₁= f(j ₁), t = f(j ₁), w ₁ = f(t), e ₁= f(j ₁).

1. Выбор динамической модели и определение ее параметров.

< TR>

В качестве динамической модели принимаем звено 1, совершающее вращательное движение вокруг точки А с круговой частотой w ₁, положение которого определяется обобщенной координатой j ₁. Параметры динамической модели: суммарный приведенный момент инерции звеньев механизма I^пр^å и суммарный приведенный момент, действующих на него внешних сил, M^пр^å определяются в следующей последовательности:

1.1. Определение кинематических передаточных функций для звеньев механизма u₂₁= u₃₁, центров масс V_qS1, V_qS2 _и V_qS3 и точки приложения движущей силы V_qD. Для определения этих функций воспользуемся методом проекций векторного контура механизма.

< TR>

Рассмотрим следующие векторные контуры:

l _AB= l _AC+ l _CB;

l _AD= l _AB+ l _BD;

l _AS2= l _AC+ l _CS2;

l _AS3= l _AC+ l _CS3;

l _AS1= x_S1+ y_S1.

Для первого векторного контура l _AB= l _AC+ l _CB проекции на оси координат

l_AB* cos j ₁= x_C+ l_CB* cos j ₂,

l_AB* sin j ₁= y_C + l_CB* sin j ₂,

j ₂ = arctg [(l_AB* sin j ₁- y_C)/(l_AB* cos j ₁- x_C)].

Производные от этих выражений по j ₁

- l_AB* sin j ₁= V_qCB* cos j ₂ - l_CB* u₂₁* sin j ₂,

l_AB* cos j ₁= V_qCB* sin j ₂ + l_CB* u₂₁* cos j ₂,

позволяют определить первые передаточные функции

u₂₁ = l_AB* (sin j ₁* tgj ₂+ cos j ₁)/ [ l_CB* (sin j ₂* tgj ₂+ cos j ₂)],

V_qCB = - l_AB* (sin j ₁- cos j ₁* tgj ₂)/ (sin j ₂* tgj ₂+ cos j ₂).

Для второго векторного контура l _AD= l _AB+ l _BD проекции на оси координат

x_D= x_B+ l_BD* cos (j ₂+ p),

y_D= y_B + l_BD* sin (j ₂+ p).

Производные от этих выражений по j ₁

V_qDx= V_qBx- l_BD* u₂₁* sin (j ₂+ p),

V_qDy= V_qBy+ l_BD* u₂₁* cos (j ₂+ p),

позволяют определить первую передаточную функцию

< TR>

Для третьего векторного контура l _AS2= l _AB+ l _BS2 проекции на оси координат

x_S2= x_B+ l_BS2* cos (j ₂+ p),

y_S2= y_B + l_BS2* sin (j ₂+ p).

Производные от этих выражений

V_qS2x= V_qBx- l_BS2* u₂₁* sin (j ₂+ p),

V_qS2y= V_qBy+ l_BS2* u₂₁* cos (j ₂+ p),

позволяют определить первую передаточную функцию

< TR>

Для четвертого векторного контура l _AS3= l _AС+ l _{С S3} проекции на оси координат

x_S3= x_С + l_BS3* cos j ₂,

y_S3= y_С + l_BS3* sin j ₂.

Производные от этих выражений

V_qS3x= - l_{С S3}* u₂₁* sin j ₂,

V_qS3y= l_CS3* u₂₁* cos j ₂,

позволяют определить первую передаточную функцию

< TR>

Для последнего пятого векторного контура l _AS1= x_S1+ y_S1 проекции на оси координат

x_S1= l_AS1* cos j ₁,

y_S1= l_AS1* sin j ₁.

Производные от этих выражений по j ₁

V_qS1x= l_AS1* sin j ₁,

V_qS1y= l_AS1* cos j ₁,

позволяют определить первую передаточную функцию

< TR>

Построим графики передаточных функций и передаточных отношений, которые необходимы для определения параметров динамической модели в нашем примере.

< TR>

1.2. Определение движущей силы по условиям в начале и в конце цикла.

Расчет проведем для закона изменения движущей силы, который изображен на рис.7.5. Величина движущей силы в начальном положении механизма рассчитывается по формуле

< TR>

Принимаем k=1.1 и получаем

F_д0= 1.1* abs (10000* 2 + 500* 0.97 + 1000* 0.0342)/ 0.967 = 23341.3 Н.

В конечном положении величина движущей силы рассчитывается по формуле:

< TR>

F_{д n}= abs (10000* 1.732 + 500* 0.984 + 1000* 0.0207)/ 0.9731 = 18325.7 Н.

Значение движущей силы в интервале (b - a)* H_D определим по формуле:

F_д ^*= {abs(G₁* H_S1+ G₂* H_S2+ G₃* H_S3)-

[ F_{д 0}* a + F_{д n}* (1 - b)] * H_D} / [(b - a)* H_D].

Примем a = 0.32 и b = 0.65 и рассчитаем перемещения центров масс

H_S1= y_S1n- y_S10= 1 - 0 = 1 м; H_S2= y_S2n- y_S20 = 0.162 - (-0.338) = 0.5 м;

H_S3= y_S3n- y_S30= -0.364 - (-0.364) = 0;

подставим полученные значения в формулу и получим

F_д ^*= {abs(10000*1+ 500*0.5 + 1000*0)- [23341.3*0.32 + 18325.7*

*(1 - 0.65)]*0.518}/[(0.65 - 0.32)* 0.518] = (10250 - 7191)/0.171 = 17889 Н.

< TR>

< TR>

1.3. Определение приведенного суммарного момента.

< TR>

2. определение приведенного суммарного момента сил сопротивления

В нашем примере силами сопротивления являются силы веса звеньев механизма, поэтому расчет суммарного приведенного момента сил сопротивления проводим по формуле

< TR>

определение приведенного момента движущей силы

В нашем примере только одна движущая сила, создаваемая давлением жидкости в гидроцилиндре. Приведенный момент от этой силы

< TR>

На рис. 7.13 приведены диаграммы приведенных моментов: сопротивления М^пр^å_с, движущего М^пр _{Fд i} и суммарного М^пр^å_с= М^пр^å+ М^пр _{Fд i}.

1.4. Определение суммарного приведенного момента инерции

В рассматриваемом механизме приведенный момент инерции суммируется из масс и моментов инерции звеньев и может быть рассчитан по следующей зависимости

< TR>

< TR>

< TR>

Графики переменной части суммарного приведенного момента инерции даны на рис. 7.13 и 7.14. Кроме того, имеется и постоянная часть I^пр^å_c, определяемая массой и моментом инерции звена 1

I^пр^å_c = m₁ * (V_qS1)² + I_S1= 1000 * (2)²+ 800 = 4800 кг * м ².

Суммарный приведенный момент инерции и равен сумме постоянной и переменной частей

I^пр^å= I^пр^å_c + I^пр^å_v.

2. Определение суммарной работы внешних сил.

Суммарную работу внешних сил получим интегрированием суммарного приведенного момента М_пр_å по обобщенной координате dj ₁

< TR>

Интегрирование можно проводить различными методами. Воспользуемся методом графического интегрирования. При этом методе участок изменения обобщенной координаты, на котором проводится интегрирование, разбирается на несколько малых частей (в нашем примере 6). В пределах каждого i -го участка кривая М_пр_å= f (j ₁) заменяется прямой, соответствующей среднеинтегральному значению М_пр_{å i} на этом участке. На продолжении оси абсцисс, влево от начала координат откладываем отрезок интегрирования k₁. Ординаты среднеинтегральных значений М_пр_{å i} проецируем на ось ординат. Точки пересечения проецирующих линий с осью ординат соединяем прямыми с концом отрезка интегрирования. На диаграмме работы из начала первого участка (и до его конца) под углом y ₁ к оси абсцисс проводим прямую. Для второго участка аналогичная прямая проводится под углом y ₂. Ее начало выбирается в точке пересечения предыдущего отрезка прямой с вертикалью проходящей начало второго участка. Проведя построения для всего интервала интегрирования, получим график работы. Масштаб этого графика определим из подобия треугольников

tg y ₁= y_Mпр_{å 1ср}/ k₁= yD _A_{å 1}/ xD j ₁,

или m _М * M^пр^å_1ср / k₁= m _A* D Aå ₁/ m j * D j ₁,

так как M^пр^å_1ср = D Aå ₁/ D j ₁, то m _A= m _М* m j / k₁.

Графики, иллюстрирующие построение диаграммы работы, приведены на рис.7.1 6 и 7.1 7

3. Определение угловой скорости звена приведения

Определение закона движения звена приведения в виде диаграммы изменения угловой скорости в функции обобщенной координаты w ₁= f(j ₁) проводится по формуле

< TR>

< TR>

< TR>

< TR>

< TR>

Диаграмма w ₁= f (j ₁) приведена на рис. 7.18.

4. Определение времени цикла.

Время цикла определяется по диаграмме t= f (j ₁). Для построения этой диаграммы проведем интегрирование диаграммы угловой скорости

< TR>

Воспользуемся методом графического интегрирования обратной величины. При этом участок изменения обобщенной координаты, на котором проводится интегрирование, разбивается на несколько малых участков. В пределах каждого i -го участка кривая w ₁= f (j ₁) заменяется прямой, соответствующей среднеинтегральному значению w _{1ср i} на этом участке. На оси ординат, откладываем отрезок интегрирования k₂ (рис.7.19). Ординаты среднеинтегральных значений w _{1ср i} проецируем на ось ординат. Точки пересечения проецирующих линий с осью ординат переносим по дугам окружности на продолжение оси абсцисс. Полученные на оси абсцисс точки, соединяем прямыми линиями с концом отрезка интегрирования. Из начала первого участка (на диаграмме времени) и до его конца под углом y ₁ к оси абсцисс проводим прямую линию. Для второго участка аналогичная прямая проводится под углом y ₂. Ее начало выбирается в точке пересечения предыдущего отрезка прямой с вертикалью проходящей начало второго участка. Проведя построения для всего интервала интегрирования, получим график времени. Масштаб этого графика определим из подобия треугольников

tg y ₁= k₂/ yw _1ср1= yD _t1/ xD j ₁,

или k₁/m w * w _{1ср 1} = m _t* D t₁/ m j * D j ₁,

так как 1/ w _{1ср 1} = D t₁/ D j ₁, то m w = k₂* m j / m w.

5. Построение диаграммы угловой скорости в функции времени

Диаграмма угловой скорости w ₁= f (t) в функции времени строится по диаграммам w ₁= f (j ₁) и t= f (j ₁), исключением переменной j ₁.

< TR>

< TR>

< TR>

6. Определение углового ускорения звена приведения

Для расчета углового ускорения звена приведения e ₁= f(j ₁) можно воспользоваться двумя различными зависимостями:

а). e ₁ = dw ₁/dt = dw ₁/dj ₁ * dj ₁/dt = w ₁ * dw ₁/dj ₁,

б). e ₁ = dw ₁/dt = М ^пр^å/ I^пр^å- w ₁²/(2* I^пр^å) * (d I^пр^å/dj ₁).

Применение первой формулы приводит к большим погрешностям, так как она основывается на использовании одной из конечных зависимостей расчета w ₁= f (j ₁). Кроме того, в точках с нулевыми значениями w ₁ расчет по этой формуле дает неверный результат e ₁= 0. Поэтому проведем расчет зависимости e ₁= f(j ₁) по второй формуле. Диаграмма функции e ₁= f(j ₁) приведена на рис. 7.22.

< TR>