2014-02-10
590
Пусть имеется полная группа несовместных гипотез с известными вероятностями их наступления. Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности.
Теорема. Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий, равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.
Фактически эта формула полной вероятности уже использовалась при решении примеров, приведенных выше, например, в задаче с револьвером.
Доказательство.
Т.к. события 
образуют полную группу событий, то событие А можно представить в виде следующей суммы:
Т.к. события несовместны, то и события AHi тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:
При этом 
Окончательно получаем: 
Теорема доказана.
Пример. Один из трех стрелков производит два выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4, для второго – 0,6, для третьего – 0,8. Найти вероятность того, что в цель попадут два раза.
Вероятность того, что выстрелы производит первый, второй или третий стрелок равна 
.
Вероятности того, что один из стрелков, производящих выстрелы, два раза попадает в цель, равны:
- для первого стрелка: 
- для второго стрелка: 
- для третьего стрелка: 
Искомая вероятность равна:
Формула Бейеса. (формула гипотез)
