Решение систем дифференциальных уравнений

Задача Коши заключается в решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, представляемых в виде:

где j = 1¸N - номер каждой зависимой переменной , x – независимая переменная. Решение ищется при заданных начальных условиях – x = x₀:

Дифференциальное уравнения высшего порядка:

с заданными начальными условиями

где (n) – порядок уравнения может быть сведено к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка с помощью преобразований:

следовательно, решение уравнения высшего порядка также сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Для численного интегрирования вышеприведенной системы может быть использован простейший метод – метод Эйлера, который реализуется формулой:

,

Этот метод обладает большой погрешностью и имеет систематическое накопление ошибок. Погрешность обрыва для метода ~h².

Для получения лучшего приближения может быть использован один из методов Рунге-Кутта, который применяется к каждому из уравнений системы.