Принцип максимума. Игольчатая вариация управления

Игольчатая вариация управления

Приращение критерия качества на допустимых управлениях

Задача управления

Преобразование задач

Основные задачи вариационного исчисления

Это задачи Лагранжа, Майера и Больца.

1 (Лагранж). Требуется найти систему функций, которая реализует экстремум функционала

(1)

и удовлетворяет условиям вида

(2),

а также граничным условиям

(3)

При этом функции должны быть не хуже, чем кусочно-гладкие.

2 (Майер). Требуется найти систему функций, которая реализует минимум функционала

или или (4)

и удовлетворяет условиям вида

(5),

а также граничным условиям

(6)

В частном случае граничные условия могут быть такими:

.

(4), (5) характерны для задачи Майера.

3 (Больц). Требуется найти систему функций, которая реализует экстремум функционала

(1)

и удовлетворяет условиям вида

(2),

а также граничным условиям

(3)

Задача Больца объединяет задачи Лагранжа и Майера.

1. Майер – Лагранж. Заменим функционал следующим образом:

2. Больц – Лагранж. Заменим функционал следующим образом:

Т.е. введем новую функцию и добавим новую связь:

3. Лагранж – Майер. Введем новую функцию и положим. Тогда

Нужно добавить связи:

(3)

(4)

Управление, где, оптимально, если

(5)

Выразим через параметры задачи ().

(6)

Здесь - это допустимая траектория, которая соответствует допустимому управлению.

Из (6) и формулы Тейлора:

(7)

Для кусочно-гладкой:

(8)

Положим

(9)

Из (7)

(11)

Введем функцию Гамильтона для системы

где

Доопределим

(12)

Заменим в (10):

Обозначим

(13)

(14)

Дифференциальное уравнение (12) называется сопряженным к (3).

Вектор - вектор сопряженных переменных, или вектор импульсов.

(12) – линейное дифференциальное уравнение относительно:

При этом используется граничное условие (9).

(14) состоит из четырех слагаемых. Если линейна, то.

Если линеен по, т.е.

то

, т.к переменные разделились.

При изучении задачи вариационного исчисления для получения необходимых условий экстремума использовались вариации допустимой кривой. Аналогично поступим и сейчас, только теперь будем пользоваться вариацией особого рода – игольчатой.

(15)

Малость игольчатой вариации определяется длиной интервала, на котором она принимает любые значения.

1. Согласно уравнению (11), на приращение, т.к. оно является решением уравнения

2. На интервале функция в силу (15) является решением уравнения. По теореме о непрерывности решения дифференциального уравнения, выполняется асимптотическое соотношение

(17)

3. На интервале функция в силу (15) является решением уравнения

(18)

В силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий, из (18) получаем (19)

На игольчатой вариации приращение (14) имеет вид

(20)

В силу (16-19),

По теореме о среднем,

Тогда

(21)

Если - оптимальная траектория, то, откуда

(22)

Неравенство (22) получено для каждого элемента и каждой точки.

Необходимо, чтобы

(23)

Говорят, что допустимое управление удовлетворяет условию максимума, если для него выполняется (23).

Итогом предыдущих рассуждений является следующая теорема.

Теорема. Пусть - оптимальное управление задачи (3,2,4). - оптимальная траектория. - решения дифференциального уравнения с граничным условием. Тогда выполняется условие максимума

Замечание. Если определить оптимальное управление из (25), т.е. найти функцию, что и подставить оптимальное управление в уравнение

то получим следующую краевую задачу из обыкновенных дифференциальных уравнений:

(24)

Пример.

4) используем условие максимума. Выделим в члены, зависящие от.