Вариационное исчисление. Метод вариации в задачах с неподвижными границами.
В задачах физики иногда возникает необходимость найти максимальные и минимальные значения величин, которые зависят от одной или нескольких функций.
Определение 1:
Функционалом называют переменную величину , зависящую от функции , если из некоторого класса функций соответствует значение , т.е. имеет место соответствие: функции соответствует число .
Аналогично определяются и функционалы, зависящие от нескольких функций или зависящие от функций нескольких независимых переменных.
Простейшим примером является длина дуги кривой, соединяющей две заданные точки и
.
Площадь некоторой поверхности также является функционалом, так как она определяется выбором :
,
где проекция поверхности на плоскость .
Моменты инерции, статические моменты, координаты центра тяжести некоторой однородной кривой или поверхности также являются функционалами, так как определяются выбором функций, которые определяют кривые или поверхности.
|
|
Вариационное исчисление изучает методы, которые позволяют находить максимальные и минимальные значения функционалов.
На развитие вариационного исчисления как самостоятельной математической дисциплины оказали влияние три задачи:
1) Задача о брахистохроне: задача о линии наибыстрейшего ската, которая называется брахистохроной (Иоганн Бернулли, 1689). Эта линия, соединяющая две заданные точки, не лежащие на одной вертикальной прямой, и по которой материальная точка скатится за кратчайшее время. Оказалось, что линией быстрейшего ската является циклоида.
2) Задача о геодезических линиях.
Найти линию наименьшей длины, соединяющая две заданные точки на некоторой поверхности . Такие линии называются геодезическими.
Найдём минимум функционала:
,
где и удовлетворяют условию.
3) Изопериметрическая задача:
Требуется найти линию заданной длины, ограничивающую максимальную площадь .
Чаще всего рассматривают следующие основные вариационные задачи:
,
,
,
.
39. Вариация и её свойства.
Определение 2:
Приращением или вариацией аргумента функционала называется разность между двумя функциями , где меняется произвольно в некотором классе функций.
Определение 3:
Функционал непрерывен при в смысле близости ого порядка, если такое, что имеет место неравенство
при
,
,
…
.
Функция берётся из класса функций, на котором функционал определён.
Определение 4:
Функционал называется линейным , если выполняются следующие условия:
1. , где постоянная.
2
Например, .
Определение 5:
Если приращение функционала представимо в таком виде, где линейный по отношению к функционал и при , то линейная по отношению к часть приращения функционала, т.е. называется вариацией функционала и обозначается .
|
|
Итак, вариация функционала – это главная, линейная по отношению к часть приращения функционала.
При исследовании функционалов, вариация играет ту же роль, что и производная при исследовании функций.
Вообще говоря, упрощения исследования функционалов дают почти эквивалентное определение вариации функционала.
по при , т.е. .
Действительно, производная от по при равна:
.
Так как , а
Если существует вариация в смысле главной части приращения функционала, то существует и вариация в смысле производной по параметру при . Второе определение несколько шире первого, так как не всегда можно выделить главную линейную часть приращения функционала.
Определение 6:
Функционал достигает на кривой максимума(минимума), если значения функционала на любой близкой от кривой, больше(не меньше), чем , т.е. .
Если () и только при , то говорят, что на кривой достигается строгий максимум (минимум).
Теорема:
Если функционал , имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при , где внутренняя точка область определения функционала, то при , .
При одинаковых и функционал является функцией от , которая при по предположению имеет максимум или минимум. Тогда или
,
В определении максимума или минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду. Если функционал достигает максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых мал, то максимум или минимум называется сильным.
Если же лишь по отношению к кривым, близким кв смысле близости первого порядка, т.е. ещё мал и , то максимум или минимум называется слабым.
Замечание:
Если на кривой достигается экстремум, то не только ,
но и , где любое семейство допустимых кривых, причём при и функция должна приращаться в и . Эта производная, конечно, не совпадает с вариацией функционала, но обращается в нуль одновременно с , на кривых, реализующих экстремум функционала, это будет использовано в дальнейшем при исследовании функционалов на экстремум.
ЛЕКЦИЯ 15:
Если для каждой непрерывной функции ,
, где непрерывна на отрезке отрезке , то на том же отрезке.
Доказательство:
Предположим, что , .
Тогда из непрерывности следует, что существует окретность точки , где сохраняет знак . Выбрав функцию , сохраняющую такой же знак в этой окрестности, и равноё нулю вне этой окрестности, получим:
Пришли к противоречию. Следовательно, .
Замечание:
Аналогично доказывается, если непрерывна в области на плоскости и при любом непрерывной в .