Скалярное произведение n-мерных векторов

Определение. Будем говорить, что в векторном пространстве Rⁿвведена операция скалярного умножения векторов (или просто скалярное умножение), если любой паре векторов a и b из Rⁿпоставлено в соответствие действительное число, обозначаемое a × b (или ( a, b )) и называемое скалярным произведением векторов a и b, и это соответствие для любых векторов a, b, и c и любого действительного числа k удовлетворяет условиям:

1°. a × b = b × a;

2°. a ×(b + c) = a × b + a × c;

3°. (k a)× b = k( a × b );

4°. a × a ³ 0, при этом равенство справедливо в том и только том случае, когда a = 0.

Условия 1°–4° называются аксиомами скалярного умножения.

Следствия из аксиом:

1. (a + b)× c = a × c + b × c;

2. a ×(k b) = k (a × b);

3. a × 0 = 0.

Следствие 1 получим из цепочки равенств:

(a + b)× c = c × (a + b) = c × a + c × b = a × c + b × c.

Аналогично доказывается следствие 2.

Докажем следствие 3:

a × 0 = a ×(0× a) =0× (a, a)=0.

Определение. Векторное пространство, в котором введена операция скалярного умножения векторов, называется евклидовым пространством.

Скалярное произведение двух векторов и можно определить равенством

. (1.9)

Справедливость аксиомы 1° для определенного формулой (1.9) скалярного произведения очевидна. Проверим справедливость аксиом 2° и 3°.

;

Справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что всегда является неотрицательным действительным числом и обращается в ноль лишь при условии .

После того, как в векторном пространстве Rⁿвведено скалярное произведение, можно определить такие понятия, как модуль (длина) вектора, угол между векторами, ортогональность векторов.

Определение. Длиной вектора a называют число | a |=.

Такое определение длины вектора имеет смысл, т.к. это число неотрицательно (в силу аксиомы 4°) и нулевой вектор имеет нулевую длину.

Определение. Пусть a и b – два ненулевых вектора. Углом между ними называют число j, определенное с помощью равенства

(1.10)

и удовлетворяющее условию .

Не всякое число можно принять за косинус угла: равенство возможно только при условии . Следовательно, угол j между ненулевыми векторами a и b существует только в том случае, когда

или, что то же самое,

. (1.11)

Теорема 1.4. Для любых векторов a и b в евклидовом пространстве Rⁿ справедливо неравенство

. (1.12)

Неравенство (1.12) называют неравенством Коши–Буняковского.

□ Пусть c = b – t× a где t – произвольное действительное число.

Рассмотрим скалярный квадрат вектора c:

(b – t× a, b – t× a)= (b, b) – t (a, b) – t (b, a) + t²(a, a).

Мы получили равенство вида

(b – t× a, b – t× a)= a t² –2b t + g, где a= (a, a), b= (a, b), g= (b, b).

Квадратный трехчлен относительно t в правой части этого равенства при любом значении t неотрицателен, поскольку равен скалярному квадрату вектора c. Следовательно, дискриминант b²– ag уравнения

at²–2bt+g=0 (a≠0)

не может быть положительным, т.е.

(a, b)²– (a, a) (b, b) £ 0, (1.13)

что является лишь другой записью неравенства (1.12).

В случае a=(a, a)=0 квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию, но в этом случае вектор a является нулевым, так что (a, b)=0 и неравенство (1.13) также справедливо. ■

Равенство c = 0 означает, что b – t× a = 0, или b = t× a, то есть вектор b коллинеарен вектору a. В этом случае из формулы (1.10) следует, что угол между векторами a и b равен нулю или p.