Обратная матрица. Одно из важных свойств умножения чисел состоит в том, что для каждого числа a, отличного от нуля, существует обратное число b такое

Одно из важных свойств умножения чисел состоит в том, что для каждого числа a, отличного от нуля, существует обратное число b такое, что ab =1, ba =1. Для матриц также можно определить понятие обратной матрицы, причем роль условия играет условие, состоящее в том, что определитель матрицы А не равен нулю.

Определение. Квадратную матрицу А называют невырожденной, если ее определитель не равен нулю: , и вырожденной, если .

Если ранг квадратной матрицы А меньше ее порядка, то строки матрицы линейно зависимы, определитель матрицы А равен нулю и, значит, матрица А вырожденная; если ранг матрицы А равен порядку этой матрицы, то матрица невырожденная.

Определение. Пусть А – квадратная матрица порядка . Матрицу В (того же порядка) называют обратной по отношению к матрице А, если выполняются равенства АВ = Е, ВА = Е.

Матрицу, обратную по отношению к А, обозначают А^–1. Таким образом,

А А^–1 = Е, А^–1А = Е.

Для вырожденной матрицы обратной не существует. В том случае, когда матрица А является невырожденной, обратная матрица существует.