2014-02-12
594
Тема 5.1. Интерполяция методом Лагранжа
Раздел 5. Методы интерполяции данных
Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n + 1 пар чисел 
, где все xi различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(xi) = yi.
В простейшем случае (n = 1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.
Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и (7,9), а также полиномы yj lj(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных xi
Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:
где базисные полиномы определяются по формуле:
lj(x) обладают следующими свойствами:
являются многочленами степени n
lj(xj) = 1
lj(xi) = 0 при 
Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация lj(x), может иметь степень не больше n, и L(xj) = yj, Q.E.D.
