1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется: .
Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например, .
3. Определитель равен нулю, если:
а) он имеет нулевую строку (столбец) ;
б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец) .
4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя. Например, .
5. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.
Например, .
6. Если в определителе каждый элемент строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:
.
7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:
.
8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
|
|
.