Теоремы о среднем, аддитивность по множеству, неравенство Коши-Буняковского

Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций

Теоремы 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.

Доказательство. Пусть f монотонно возрастает, тогда

S (f, D) - s (f, D) = = = < l(D) =

= l(D)(f (b) – f (a)), откуда и следует интегрируемость (по теореме Дарбу).

Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.

Доказательство. Пусть функция f (x)ограничена на [ a,b ], |f(x)| £ M и имеет p точек разрыва { u_k }. Для упрощения доказательства будем предполагать, что все точки разрыва внутренние. Пусть e > 0, рассмотримнепересекающиеся окрестности точек разрыва с суммарной длиной 2g p < e, будем также предполагать, что все лежат в интервале (a,b) (рис. 2.3). Функция f равномерно непрерывна на дополнении, поэтому существует d > 0такое, что |f (x ¢¢) -f (x ¢) |< e при |. Возьмем разбиение Dс характеристикой l(D)<min(d,e). В этом случае на отрезках, лежащих в D колебание функции будет w _k (f) < e. Представим разность сумм Дарбу S – s в виде трех сумм (рис. 2.3)

S – s = S w _k (f) D x_k =S¢ + S¢¢ + S¢¢¢.

Через S¢ обозначена часть суммы S w _k (f) D x_k, для которой все [ x_k,x_{k+ 1}]Ì D. Для нее будет выполнено неравенство S¢ = S¢ w _k (f) D x_k £ S¢ e D x_k = (b – a) e.

Через S¢¢- обозначена часть суммы S w _k (f) D x_k, для которой [ x_k,x_{k+ 1}]Ì. Для этой суммы S¢¢ £ S¢¢2 M D x_k = 2 M S¢¢ D x_k < 2 M e (суммарная длина S¢¢ D x_k меньше e).

Через S¢¢¢обозначена часть суммы S w _k (f) D x_k, содержащая остальные слагаемые (таких слагаемых будет 2 p). Для этой суммы S¢¢¢ £ S¢¢¢ 2 M D x_k = 2 M S¢¢¢ D x_k < 2 M 2 p e.

Рис. 2.6

Таким образом, для разбиения с выбранной характеристикой l(D) справедливо неравенство S – s =S¢ + S¢¢ + S¢¢¢ < (b – a + 2 M + 4 Mp) e.По теореме Дарбу функция интегрируема.

Следствие. Изменение функции в конечном числе точек не влияет на интегрируемость (см. слайд «Изменение функции в конечном числе точек»).

Теорема 4. Ограниченная, имеющая счетное число разрывов функция интегрируема.

Без доказательства.

Изменение функции в конечном числе точек

2.2.3. Свойства определенного интеграла

Во многих случаях в доказательствах будет использоваться теорема Дарбу. Именно, если окажется, что функция интегрируема и для любого разбиения выполнено неравенство, то функция также будет интегрируема. Действительно, в этом случае S (f, D) –s (f,D)=Sw_k(f) D x_k £ Sw _k (g)D x_k = S (g, D) –s (g,D) и можно сослаться не теорему Дарбу.

1) Если f и g интегрируемы на [a,b], то f + g также интегрируема на [a,b] и

(f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx.

Доказательство. Так как |f (x) +g (x) – f (y) – g (y) |£ |f (x) – f (y) |+| g (x) – g (y) |, то для заданного разбиения Dбудет выполнено неравенство

w _k (f+g) =sup |f (x) +g (x) – f (y) – g (y) |£ sup(|f (x) – f (y) |+| g (x) – g (y) |)£sup |f (x) - f (y) |+

+ sup |g (x) – g (y) |= w _k (f) + w _k (g). Отсюда S (f+g, D) –s (f+g,D)=Sw_k(f+g) D x_k £

£Sw _k (f)D x_k +Sw _k (g)D x_k = S (f, D) – s (f,D)+ S (g, D) –s (g,D).

Откуда следует интегрируемость суммы f + g. Далее для стандартной последовательности интегральных сумм

s ^m (f+g) = s ^m (f) + s ^m (g).

Переходя к пределу при m® ¥, получим требуемое равенство.

2) Если f интегрируема на [ a,b ], то cf (x)также интегрируема и

c f (x) dx =cf (x) dx.

Утверждение следует из соотношения s(cf, D,x) = c s(f, D,x)для интегральных сумм.

3) Если f интегрируема на [ a,b ], то |f (x) | также интегрируема и

| f (x) dx | £ | f (x) |dx.

Доказательство. Дано разбиение D. Тогда

w _k(|f|) = sup ||f (x) | –| f (y) || £ sup |f (x) – f (y) |= w _k (f),

S (| f |, D) – s (| f |,D)=Sw_k(| f |) D x_k £ Sw _k (f) D x_k = S (f, D) – s (f,D).

Откуда следует интегрируемость | f |. Далее для стандартной последовательности интегральных сумм будет выполнено

| s ^m (f) | £s ^m (|f|).

Переходя к пределу при m® ¥,получим требуемое неравенство.

4) Если f, g интегрируемы на [ a,b ], то f (x) g (x)также интегрируема.

Доказательство. Так как функции интегрируемы, то они ограничены |f (x) |£M, |g (x) |£M. Выполнено соотношение

f (x) g (x) – f (y) g (y) = f (x) g (x) – f (x) g (y) + f (x) g (y) – f(y) g (y) = f (x)(g (x) –g (y)) + g (y)(f (x) – f (y)).

Тогда для заданного разбиения будет выполнено неравенство

w _k (fg) £ M w _k (g) + M w _k (f)и, следовательно, функция f (x) g (x)будет интегрируема.

5) Если g (x) – монотонна и ограничена на[ a,b ], f (x) – интегрируема, то f (x) g (x)интегрируема.

Это непосредственное следствие из предыдущего свойства и интегрируемости монотонной, ограниченной функции.

6) Если f отлична от 0 лишь в конечном числе точек, то она интегрируема и ее интеграл равен нулю.

Доказательство. Достаточно доказать для одной точки

или = 0, в зависимости от того, попадет единственная точка, где функция отлична от нуля, в число промежуточных точек или нет. Во всяком случае, всегда будет выполнено неравенство | s(f, D,x) | £ M l(D).

Рис. 2.7

Следствие. Если f ₁ интегрируема, и f ₂отлична от f ₁ на конечном числе точек, то f ₂также интегрируема и

=.

Доказательство. f ₂ = f ₁ + (f ₂ – f ₁).

7) 1 dx = b – a.

8) Если a < b, то по определению полагают

dx = – dx.

9) Если f и g интегрируемы на [ a,b ]и f £ g на [ a,b ], то

dx £ dx.

Для стандартной последовательности интегральных сумм s ^m (f)£ s ^m (g).

Теорема 1 (первая теорема о среднем, см. слайд «Теорема о среднем»). Если m £ f (x) £ M на [ a,b ], то $ mÎ[ m,M ] такая, что

dx = m (b – a).

Теорема о среднем

Доказательство. (a < b)

m (b - a) = m dx £ f (x) dx £ M dx = M (b – a). Откуда следует

и m =.

Следствие. Если f непрерывна, то$xÎ[ a,b ]:

f (x) dx = f (x) (b – a).

Для доказательства нужно взять и воспользоваться теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции.

Теорема 2 (вторая теорема о среднем). Если m £ f (x) £ M на [ a,b ], f (x), g (x) интегрируемы и g (x) постоянного знака на [ a,b ], то $ mÎ[ m,M ]:

f (x) g (x) dx = m g (x) dx. (2.2)

Доказательство. Пусть g (x)³ 0. Тогда

m g (x)£ f (x) g (x)£ M g (x), откуда

m £ f (x) g (x) dx £ M (2.3)

Если g (x) dx =0, то из (2.3) следует, что f (x) g (x) dx =0 и соотношение (2.2) будет выполнено при m=0. Если, то поделив выражения в (2.3) на g (x) dx, получим требуемое соотношение, выбрав в качестве mчисло f (x) g (x) dx / g (x) dx.

Если g (x)<0, то следует рассмотреть функцию G (x)=- g (x).

Теорема 3. Если f (x) – интегрируема на [ a,b ] и c Î [ a,b ], то f (x) – интегрируема на [ a,c ] и [ c,b ] и (см. слайд «Аддитивность интеграла по множеству»)

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.

Аддитивность интеграла по множеству

Доказательство. Пусть D₁- разбиение[ a,c ]. Дополним это разбиение до разбиенияDвсего отрезка так, чтобы характеристика разбиения не измениласьl(D) = l(D₁). В этом случае S (f,D₁) –s (f,D₁) £ S (f, D) –s (f, D), откудаследует интегрируемость на отрезке [ a,c ]. Аналогично доказывается интегрируемость на отрезке [ c,b ]. Если существование интегралов доказано, то для доказательства требуемого равенства следует выбрать стандартные последовательности интегральных сумм s(f,, x' ^m), s(f,, x'' ^m) для отрезков [ a,c ]и [ c,b ]. Возмем разбиение соствавленное из узлов разбиений с теми же промежуточными точками x ^m =x' ^m x'' ^m. Для таких сумм получим (рис. 2.8)

s(f, D ^m, x ^m) = s(f,, x' ^m) + s(f,, x'' ^m).

Рис. 2.8 (m =4)

Переходя к пределу при m ®¥ получим требуемое соотношение.

Следствие. Для любых a, b, c справедливо равенство

f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx,

если указанные интегралы существуют.

Докажем это, например, для случая c < a < b.

f (x) dx = f (x) dx + или f (x) d = – f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx.

В качестве еще одного следствия можно получить следующую теорему

Теорема 4. (Непрерывность интеграла как функции верхнего предела). Если f интегрируема на [a,b], то функция F(x) = dt непрерывна на [a,b].

Доказательство.

|F(x+Dx) – F(x)| = | dt| £ M |Dx|.

Теорема 5 (третья теорема о среднем). Если g (x) – монотонна и ограничена на [ a,b ], f (x) – интегрируема, то существует x такое, что

f (x) g (x) dx = g (a) f (x) dx + g (b) f (x) dx.

Доказательство (Для случая, f(x) ³0).

Вначале отметим, что справедливы следующие утверждения

Лемма 1. Любую точку m отрезка [ A, B ] можно единственным образом представить в виде m=a A+ b B, где a³0, b³0, a + b = 1.

Действительно, если положить, то и a³0, b³0, a + b = 1.Наоборот, если m=a A+ b B= a A +(1-a) B, то B - m=a(B - A) и,.

Числа a, b, удовлетворяющие указанным условиям, называются барицентрическими координатами точки m отрезка [ A, B ].

Лемма 2. Если f (x) интегрируема на [ a, b ] ,, то для любого существует xÎ[ a, b ] такое, что числа будут барицентрическими координатами числа.

По лемме 1 будет m=a A+ b B, где a³0, b³0, a + b = 1.Рассмотрим функцию. Эта функция непрерывна и для нее a(a)=0, a(b)=1. По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции найдется xÎ[ a, b ]такое, что a(x)=a.Тогда будет выполнено

1-a(x)=1 – = =. Что и требовалось доказать.

Замечание. Можно было в качестве a(x) взять функцию a(x) =, b(x) =, a(a)=1, a(b)=0. В этом случае

f (x) g (x) dx = g (a) f (x) dx + g (b) f (x) dx.

Доказательство теоремы. Сначала докажем теорему при дополнительном условии g (x) – монотонно возрастает. Из неравенств g(a)f(x) £ g(x)f(x) £ g(b)f(x) (у нас, f(x) ³0)) следует

,

откуда получим

.

Таким образом, число m = Î[ g (a) ,g (b)]. По лемме 2 найдется xтакое, что

=или

f (x) g (x) dx = g (a) f (x) dx + g (b) f (x) dx

Если функция монотонно убывает, то следует рассмотреть функцию G (x) = –g (x), которая будет монотонно возрастать и для неё воспользуемся доказанным утверждением

f (x) G (x) dx =G (a) f (x) dx+G (b) f (x) dx, или

– f (x) g (x) dx = –g (a) f (x) dx – g (b) f (x) dx

откуда и следует утверждение для функции g (x).

Теорема 6 (Неравенство Коши-Буняковского). Если f (x), g (x) – интегрируемы на [ a,b ], то

£ f ²(x) dx g ²(x) dx или

.

Доказательство. В силу свойствинтеграла будут интегрируемы функции (f+ l g)², f ², g ², тогда

0 £ (f+ l g)² dx= f ² dx + 2l f g dx + l² g ² dx =A l²+2 B l +C.

Дискриминант будет £ 0откуда и следует неравенство Коши-Буняковского.

2.3. Определенный интеграл, как функция верхнего предела, вычисление определенных интегралов

Определенный интеграл, как функция верхнего предала. Замена переменных в определенном интеграле, интегрирование по частям. Длина дуги.

2.3.1. Производная интеграла по верхнему пределу

Отметим, что ранее была доказана

Теорема 1. Если f интегрируема на [a,b], то F(x) = dt непрерывна на [a,b].

Теорема 2. Если f непрерывна на [a,b], то F(x) = dt дифференцируема на [a,b] и F¢(x) = f(x).

Доказательство.

dt = f(x), где xÎ[x, x+Dx] при Dx >0 или xÎ[x+Dx, x] при Dx<0.

Следствие. Всякая непрерывная на [a,b] функция f(x) имеет на [a,b] первообразную

dx = dt + C. (*)

2.3.2. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если интегрируемая на [a,b] функция f имеет там первообразную F(x), то

dx = F(b) – F(a) =.

Доказательство. F(b) – F(a)= ®.

Замечание. Если f непрерывна, то формула Ньютона-Лейбница следует из (*).

2.3.3.Замена переменных в определенном интеграле

Теорема 1. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], j(t) непрерывна вместе с производной на [a,b], причем j(t)Î[a,b], если tÎ[a,b], j(a)=a, j(b)=b. Тогда

dx = j¢(t) dt (2.4)

Формула (2.4) называется формулой замены переменного в определенном интеграле.

Доказательство. Оба интеграла в (2.4) существуют. Пусть F (x) первообразная функции f (x), тогда F (j(t))существует и является первообразной функции f (j(t))j¢(t). По формуле Ньютона-Лейбница

dx = F (b) – F (a), j¢(t) dt = F (j(b)) – F (j(a)) = F (b) – F (a).

Замечание 1. Формула (2.4) иногда записывается в виде

dx = d j (t).

Замечание 2. Условия теоремы можно ослабить. От функции f (x) требуется интегрируемости и существования первообразной. Функция j(t) должна быть дифференцируема и должна существовать суперпозиция F (j(t)).