Длина дуги гладкой кривой
Интегрирование по частям
Теорема 2. Если функции u (x), v (x) непрерывны вместе со своими производными на [ a,b ], то
dx = – dx = – dx (2.5)
Доказательство.
= dx = dx = dv + du.
Откуда и следует формула (2.5).
Примеры
3.3. Вычислить. Имеем
Откуда получим
3.4. Вычислить.
Если формально применить формулу (в нашем случае 1- ab =0), то Законность этой операции можно обосновать.
2.3. 5. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме
Пусть функция f (x)определена на отрезке [ a,b ]и имеет там непрерывные производные до порядка n+ 1. Тогда для всех x из [ a,b ]справедлива формула Тейлора с остатком в интегральной форме
.
Доказательство. Обозначимостаток в формуле Тейлора Rn+ 1 =, Uk=. Интегрируя по частям, получим
Rn+ 1 = = + Rn= =– Un+ Rn =– Un – Un-1+ Rn-1=…= – + R1= + =. Откуда и следует доказываемая формула.
Ранее была доказана
Теорема. Если кривая
непрерывно дифференцируема, то длина ее дуги s (t) от начала кривой до точки с параметром t (рис. 2.9) является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой функцией и
|
|
.
Рис. 2.9
Следствием является
Теорема. При условии непрерывной дифференцируемости длина кривой равна
s = dt (2.6)
Рис. 2.10
Равенство (2.6) для длины кривой следует из предыдущей теоремы с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Замечание 1. В плоском случае
s = dt.
Замечание 2. Если в качестве кривой рассматривается график функции f (x) на отрезке [ a,b ], то эту кривую можно параметризовать t Î[ a,b ] и ее длина будет вычисляться по формуле s = dx.
Рис. 2.11
Замечание 3. Для графика функции, заданной в полярных координатах r (j), jÎ[a,b] длина кривай будет равна
s = d j.
Рис. 2.12
Для вывода этой формулы следует рассмотреть параметризацию кривой
, jÎ[a,b].
Примеры.
1.1. Вычислить длину кривой, y= ln cos x,.
Длина кривой будет равна.
1.2. Вычислить длину астроиды x 2/3 +y 2/3 =a 2/3.(рис. 2.13, слайд «Астроида»)
Рис. 2.13
Астроида
В парметрическом виде уравнение астроиды имеет вид. Вычислим производные и подинтегральную функцию для нахождения длины дуги кривой, расположенной в первом квадранте:
, Длина всей дуги будет равна
2.4. Площадь плоской области
Квадрируемость. Криволинейна трапеция. Области с границей в полярных координатах
Многоугольником P в этом параграфе называется внутренняя часть области, ограниченной замкнутой не самопересекающейся ломаной L. Для упрощения формулировок, объединение конечного числа многоугольников будет также называться многоугольником(см рис. 2.14).
Рис. 2.14
Сама ломаная L (или ломаные) называется границей многоугольника P и обозначается ¶ P. Многоугольник плюс граница обозначается =P+ ¶ P (замыкание области). Для области, показанной на рисунке, граница состоит из двух замкнутых ломаных. Будем предполагать известным понятие площади для многоугольников (эта площадь находится триангуляцией, разбиением области на треугольники Рис. 2.15).
|
|
Рис. 2.15
Под областью в этом параграфе будем понимать ограниченное множество, для которого существует хотя бы один вписанный многоугольник. Кроме того, мы в дальнейшем будем рассматривать только множества, ограниченные одной или несколькими замкнутыми кривыми.
Определение. Индексом i будем обозначать многоугольники, вписанные в заданную область D, Pi Ì D È ¶D (¶D – кривая, ограничивающая область D). Индексом e будем обозначать описанные многоугольники, Pe É D È ¶D. Площадь многоугольника P будем обозначать через m P (см. слайд « Вписанные и описанные многоугольники »).
Вписанные и описанные многоугольники
Для площади многоугольников известно свойство монотонности: если P Ì Q, то m P £ m Q.
Определение. Нижней площадью области D назовем величину m D = sup m Pi, где точная верхняя грань берется по всевозможным вписанным многоугольникам.
Верхней площадью области D назовем величину = inf m Pe, где точная нижняя грань берется по всевозможным описанным многоугольникам.
Как уже отмечалось, мы будем рассматривать лишь ограниченные области, для которых множество вписанных многоугольников не пусто. В этом случае верхние и нижние площади будут существовать.
Лемма. m D £.
Доказательство. От противного.Пусть £ m D (см. слайд «Неравенство между нижней и верхней площадью»).
Неравенство между нижней и верхней площадью
Выбираем непересекающиеся окрестности чисел, m D. По определению нижней и верхней площадей найдутся два многоугольника Pi, Pe, один с площадью m Pe из выбранной окрестности числа, другой с площадью из окрестности числа m D. Согласно выбору окрестностей m Pe < m Pi, что противоречит свойству монотонности площадей для многоугольников.
Следствие. Для любых Pi, Pe выполняется m Pi £ m D £ £ m Pe.
Определение. Область D называется квадрируемой, если = m D. Эта общая величина называется площадью и обозначается m D.
Теорема (критерий квадрируемости). Для того, чтобы ограниченная область D была квадрируемой необходимо и достаточно, чтобы для любого e>0 существуют два многоугольника (описанный и вписанный) Pe, Pi такие, что m Pe - m Pi < e.
Доказательство. Как уже отмечалось для любых Pe, Pi выполняются неравенства
m Pi £ m D £ £ m Pe,
откуда и следует требуемое утверждение.
Следствие. Для того, чтобы ограниченная область D была квадрируемой необходимо и достаточно, чтобы существовали две последовательности многоугольников, такие, что.
Замечание. Для многольников, указанных в этом следствии, справедливы равенства.
Определение. Множество D имеет площадь 0, если его можно покрыть многоугольниками со сколь угодно малой суммарной площадью.
Если область D имеет границу ¶ D, то для квадрируемости D необходимо и достаточно, чтобы ¶ D имела площадь равную нулю.
Если многоугольники Pe и Pi имеют разность площадей m Pe - m Pi <, то область Pe \ Pi (полоса между ломаными, ограничивающими многоугольники Pe, Pi)имеет площадь m (Pe \ Pi)< и содержит границу области D. Справедливо и обратное утверждение. Если многоугольник Q с площадью m (Q)< покрывает границу области D, то из его границ можно собрать границы двух многоугольников Pe и Pi с разностью площадей m Pe - m Pi < (без доказательства).