Неравенство Клаузиуса

Согласно теореме Карно, КПД тепловой машины не может превышать КПД обратимой машины, работающей между теми же температурами: η≤η_обр.. По определению, КПД всякой тепловой машины η=,

где Q _н – теплота, полученная машиной от нагревателя, при температуре Т _н,

Q _х – теплота, отданная машиной холодильнику при температуре Т _х.

Максимально же возможный КПД, т.е. КПД обратимой машины, работающей между теми же температурами, . Таким образом,

. (6)

Здесь как получаемая теплота Q _н>0, так и отдаваемая теплота Q _х>0.

Однако далее везде вместо терминов «получаемая теплота» и «отдаваемая теплота» удобно пользоваться единым термином: «теплота, которой система обменивается с тепловыми резервуарами», причём получаемой теплоте приписывать знак «+», а отдаваемой – «−»: Q >0, когда система получает теплоту, и Q <0, когда отдаёт (т.е. получает отрицательную теплоту). Таким образом, система получает теплоту всегда, но только с разными знаками.

В этом случае соотношение (6) принимает вид:

, (7)

где Q ₁=− Q _х – теплота, которой система обменивается с резервуаром при температуре Т ₁, Q ₂= Q _н – теплота, которой система обменивается с резервуаром при температуре Т ₂ (рис. 11).

Замечание. При теплообмене с каким-либо резервуаром температура системы должна быть равна температуре данного резервуара, − это обязательное условие обратимости процесса. Теплового контакта двух тел с разными температурами в обратимых процессах быть не должно.

Из (7) следует, что для двух резервуаров с температурами Т ₁ и Т ₂, с которыми система обменивается теплотами Q ₁ и Q ₂, справедливо неравенство:

,

или: (8)

Однако в круговом процессе система может обмениваться теплотами Δ Q_i не обязательно с двумя, а со многими резервуарами с разными температурами T_i (рис. 12). При этом справедлива следующая теорема (без доказательства):

Теорема. Если есть п тепловых резервуаров с температурами Т ₁, Т ₂, …, Т_п, с которыми система в круговом процессе обменивается теплотами Δ Q ₁, Δ Q ₂, …, Δ Q_п, то справедливо соотношение, аналогичное (8):

(=0 при обратимом процессе). (9)

Если же источники тепла (резервуары) распределены непрерывно, и каждый из них обменивается с системой теплотой dQ при соответствующей температуре Т, то вместо суммы (9) следует писать интеграл по циклу:

,

и тогда . (10)

Это фундаментальное термодинамическое соотношение, вытекающее из второго закона ТД, называется неравенством Клаузиуса. Для обратимых циклов

. (11)

Замечание. Так как при обратимом теплообмене с каким-либо резервуаром температура системы обязательно должна быть равна температуре данного резервуара, то в выражениях (10) и (11) в качестве Т следует брать температуру самóй системы.

Определение. Пусть в элементарном процессе теплообмена система получает теплоту dQ при температуре Т. Тогда отношение называется элементарной приведённой теплотой системы, а интеграл − приведённой теплотой системы в конечном процессе 1-2 (рис. 13).

С учётом этого, равенство (11) можно сформулировать следующим образом:

приведённая теплота системы при любом обратимом циклическом процессе равна нулю.

Следствия из равенства (11):

Следствие 1. КПД любого обратимого цикла, в котором минимальная температура равна Т ₁, а максимальная − Т ₂, меньше, чем КПД цикла Карно, работающего между теми же температурами: η<η_Карно (без доказательства).

Следствие 2. Приведённая теплота системы при обратимом переходе из одного состояния в другое не зависит от формы пути перехода, а определяется только начальным и конечным состояниями системы.

Доказательство. Пусть L ₁ и L ₂ – два различных обратимых (квазистатических) процесса, переводящих систему из состояния 1 в 2 (рис. 14). Рассмотрим циклический процесс 1→ L ₁→2→ L ₂→1. Для этого обратимого цикла справедливо равенство (11), которое можно представить как сумму процессов:

.

Но , следовательно, .